数学思想推动证明思路

2016-09-05王军

初中生世界 2016年29期

关键词：外角平行线内角

王军

数学思想推动证明思路

王军

证明是判断一个命题是真命题的推理过程，有利于培养人的思维品质，培养人的推理意识，是中考命题的重要考点，主要考查对证明推理过程的理解和逻辑推理的能力，题型有选择题、填空题和解答题.

证明中的推理过程不能“想当然”，每一步推理都要有根据.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、定理和公理，推理过程要严密.证明中的逻辑推理离不开数学思想，数学思想有助于寻找逻辑推理的依据和途径.

一、方程思想的应用

在处理两条直线的平行问题时，我们经常会遇到角的关系问题，而这种角的关系又通常需要利用一个等式才能显现出来，其中也离不开方程.

例1如图1，若a∥b，∠1=3x+70°，∠2=2x+80°，则x= ______，∠3=______.

图1

解：若a∥b，可得：∠1=∠2（因为∠1与∠2的对顶角是同位角），所以可得：3x+70°=2x+80°，解得：x=10°，

即：∠3=180°-∠1=180°-100°=80°.

【点评】本题根据平行线的性质得出图形中角与角之间的数量关系，并通过方程求出x的大小，进而使问题获解.

二、转化思想的应用

有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能得到顺利解决.

例2 如图2，AB平行EF，BC垂直CD于C，∠ABC= 30°，∠DEF=45°，求∠CDE的大小.

图2

【解析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直，还给出了两个具体角的大小，但好像还是与要求的角无关，考虑有平行线，想到可将问题转化，于是，过点C和D作平行线，这样就可分别将要求的角转化到已知角中去.

解：分别过点C，D作CM∥AB，DN∥AB，

由AB∥EF，得到AB∥CM∥DN∥EF，

∴∠ABC=∠BCM=30°，∠DEF=∠GDE= 45°，∠MCD=∠CDG.

∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，

∴∠MCD=∠CDG=60°，

∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=105°.

【点评】熟练掌握平行线的条件和特征，并能灵活运用是求解本题的关键，充分运用条件，及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提.另外，对于两条平行线间的“折线”与“拐角”的问题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造出一些相等的角或互补的角，使已知与未知一目了然，达到解题的目的.

三、整体思想的应用

从问题的整体着手进行思考，往往会使问题的解答快捷，迅速，可以培养同学们思维的敏捷性.

例3已知在四边形ABCD中，∠A= ∠C=90°.

（1）∠ABC+∠ADC=_______；

（2）如图3，若DE平分∠NDC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明.

（3）如图4，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），试求∠E的度数.

图3

图4

【解析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

解：（1）∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°，

故答案为：180°；

（2）延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180° -∠ADC）=∠ADC，

水资源时空分布不均且用水效率不高是我国的国情之一。采取各种措施、手段，特别是通过法律制度的构建与完善推动节水工作全面开展，提高水资源的利用效益，已经刻不容缓。目前我国尚未出台专门的节水法，节水立法的必要性和紧迫性日益凸显，节水立法的相关理论研究亟待推进，对节水法律制度进行剖析，分析和研究节水立法重点问题，有利于推动水资源管理制度的全面创新，进一步推动我国节水法律制度的建立。

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+ ∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，即DE⊥BF；

（3）由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+ ∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°.