艾里光束的产生及对微小粒子的操作

马振新,王海凤,刘仲之,朱厚飞（上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海 200093）

艾里光束的产生及对微小粒子的操作

马振新,王海凤,刘仲之,朱厚飞
（上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海 200093）

近年来,艾里光束因具有横向加速、无衍射以及自愈等独特性质引起了人们的广泛关注。该光束的光场振幅分布遵从艾里函数,并满足类似薛定谔型的波动方程。从理论和实验、线性和非线性、应用等多个方面对它进行研究。从理论上阐述了艾里光束产生的原理,用相位空间光调制器从实验上产生了艾里光束。在此基础上,采用瑞利近似方法,重点分析了在一维艾里光束作用下,粒子所受的光学散射力、梯度力以及粒子所受的光学散射力和梯度力与粒子半径、折射率的关系。

艾里光束；横向加速；瑞利近似；散射力和梯度力

引 言

1979年Berry与Balazs在量子力学领域有重大发现:描述自由粒子的薛定谔方程具有无衍射艾里光束解［1-3］。其中,艾里光束最显著的特点是其在没有任何外力作用下具有自加速特性［4］。

同其它无衍射光束一样,艾里光束是一种在传播过程中强度空间分布保持不变的光束。当然在实际操作中由于空间距离和光束能量的限制,无衍射艾里光束一般都通过孔径光阑进行“截趾”,从而使得它在传播过程中逐渐趋向于衍射。如果“截趾”孔径超过理想艾里光束的时空特征值,在一定传播距离内艾里光束强度会衰减,因此从实际情况考虑,认为有限能量艾里光束为无衍射光束［5］。

艾里光束和另一类“无衍射”的贝塞尔光束相比,它除了同样具有无衍射和自愈合性质之外,艾里光束还经历一个横向的自加速过程,在自由空间传播过程中能够发生自弯曲［6］,这是由于艾里光束的非对称场分布特点决定的。国外一个研究小组利用艾里光束把二氧化硅粒子从一个容器运输到了另外一个容器中,它仅仅依靠光学手段,就可以将粒子进行运输,这一点将会成为光学微操控的一个有力工具。

本文首先从实验上产生了艾里光束,在理论和实验两方面证明了在自由空间传播的艾里光束将沿抛物线轨迹传播。重点对艾里光束操控微粒进行深入的理论模拟,分析了粒子所受的的光学梯度力和散射力,同时还分析了粒子的半径、折射率对光学梯度力和散射力的影响。这些分析将会更好地指导实验研究,为了研究的简单性,在这只考虑粒子半径远小于波长的情况,即瑞利近似方法。

1　理论基础

为了研究艾里光束的传播特性,引入归一化傍轴情况下（1+1）维的衍射方程［7］

式中:s=x/x 0为无量纲横坐标,x 0为任意横向尺度；为归一化传输距离（与瑞利长度有关）；k=2πn/λ0表示波数；φ为电场包络。

方程对应的非色散艾里光束解为

我们研究指数“截趾”的有限能量艾里光束,在初试位置（ξ=0）的波包分布为

式中:Ai表示艾里函数；衰减系数a＞0表示对无限能量艾里光束的抑制,且能在实际中产生。式（2）说明光束在加速过程中其强度保持不变,s—（ξ/2）2反映了光束传播的抛物线轨道。这种光束可以绕过障碍物,到达直射光束所不能到达的区域。艾里光束的横向加速特性无疑是艾里光束最重要的光束传输特性。引入衰减系数a以后,由式（1）得到有限能量艾里光束为

根据帕塞法尔定理,可以直接得到艾里光束的能量为

上面讨论的均是一维艾里函数解。

2　艾里光束的产生

首先从实验上产生艾里光束,实验装置如图1［3］。氦氖激光器发出一束高斯光束,入射激光经过空间光调制器的反射即可完成对其相位的立方调制,再经过傅里叶透镜即可在透镜焦点处观察到艾里光束的强度轮廓分布。透镜的焦平面为艾里光束的初始位置,通过CCD的位置可以采集到不同传输距离处艾里光束的横向光场分布和坐标信息,从而可以验证艾里光束的横向自加速特性。为产生艾里光束,空间光调制器需加载如图2所示的相位灰度图,相位灰度图的设计对产生艾里光束是至关重要的［8］。另外,实验中,在相机之前放置一个5倍的显微物镜是用来放大光斑,以便观察艾里光束能量分布变化的细节。

图1　艾里光束实验装置图Fig.1　Experiment setup for generating Airy beams

图2　艾里光束的相位掩模板Fig.2　Cubic phase mask of Airy beam

图3　产生的二维艾里光束截面图Fig.3　Profile of two-dimensional Airy beam

图4　一维艾里光束光强分布Fig.4　Intensity distribution of one-dimensional Airy beam

基于上述光路,我们采用焦距为f=500 mm的傅里叶变换透镜产生艾里光束,实验产生的艾里光束二维截面图如图3所示。艾里光束的产生主要取决于相位掩膜板的设计,确定的相位掩膜板只能产生特定传输特性的艾里光束,这时艾里光束的传输特性是确定的,因此它的横向加速度也是确定的。图4给出了这个艾里光束在一定传播距离内的光强分布（其中,z为光轴方向,x为光偏转方向）。可以看出,艾里光束经历了一个横向自加速的过程,光强在起初的距离范围内保持不变,近似无衍射,该区域即为无衍射区域。对于艾里光束,主锤是它能量最集中的点。因此,在实际的科学研究中,人们最为关注的是主锤的横向加速度。

3　艾里光束对粒子的作用

3.1艾里光束性质

根据瑞利散射理论,当介质微粒的尺寸远远小于光波的波长时a＜＜λ（其中λ是真空中的波长,a为粒子的半径。一般认为a≤λ/20的粒子称为瑞利粒子）,可以用电磁场模型来解释介质微粒的受力原理。这时散射粒子内和附近的电场呈现静电场特征,可以用静电场方程来近似描述,且粒子内外的相位差s也相当小。在这种情况下,粒子可以当作点偶极子来处理。基于式（1）,假设电场为沿x方向偏振的线偏光,那么艾里光束的电磁场可以解析表示为［9］

式中:n为介质折射率；ε0为真空中的介电常数；c为真空中的光速。

3.2粒子所受的梯度力和散射力

因为在这假设电场为沿x方向偏振的线偏光,则粒子所受的梯度力可进一步表示为［10］

另一类电场力是粒子散射光子引起光子动量的改变,从而产生散射力,方向为沿光传播的方向。其计算公式为

3.3数值模拟与结果讨论

采用瑞利近似法,考虑粒子半径远远小于波长（a≤λ/20）情况,讨论梯度力和散射力受哪些因素的影响。在实验产生艾里光束的前提下,输入的艾里光束强度的峰值I0为定值。如图5,图6所示,图5是当n1=1.8,n2=1.33,λ=1 064 nm时,半径a分别为31 nm、40 nm、53.2 nm的粒子所受梯度力随距离r的变化关系。图6是n2=1.33,λ=1 064 nm,a=40 nm时,折射率n1分别为1.8,1.56,1.4的粒子所受梯度力随距离r的变化关系。

图5　不同半径粒子所受的梯度力与距离r的关系Fig.5　The relationship between gradient force of different radius particle and distance

图6　不同折射率粒子所受的梯度力与距离r的关系Fig.6　The relationship between gradient force of different refractive index particle and distance

对于折射率一定的粒子,考虑不同半径的粒子所受的梯度力和散射力,从图5可知,半径越大,粒子所受的梯度力和散射力越大,散射力比梯度力随半径增大而增大的幅度要大,因为梯度力和半径的3次方成正比,散射力和半径的6次方成正比。另外,粒子所受的梯度力和散射力还和粒子本身的折射率有关。由图6分析知,在粒子半径一定的情况下,不同折射率的粒子所受的梯度力和散射力不同,折射率越大的粒子,所受的光学梯度力和散射力也越大,同样,散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大。

4　结 论

本文在实验产生艾里光束的基础上,探讨了艾里光束的横向加速性质,重点探究了艾里光束对粒子的作用。在一维艾里光束的作用下,粒子所受的梯度力和散射力沿x、z两个方向,光学梯度力和散射力随着粒子的折射率和半径增大而增大,并且散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大,这为艾里光束应用在粒子捕获和运输这一领域提供了基础。

［1］ YE Z Y,LIU S,ZHANG P,et al.Acceleration control of Airy beams with optically induced refractive-index gradient［J］.Optic Letters,2011,36（16）:3230-3232.

［2］ ELLENBOGEN T,VOLOCH-BLOCH N,GANANY-PADOWICZ A,et al.Nonlinear generation and manipulation of Airy beams［J］. Nature Photonics,2009,3（7）:395-398.

［3］ SIVILOGLOU G A,BROKY J,DOGARIU A,et al.Observation of accelerating Airy beams［J］.Physical Review Letters,2007,99（21）:213901.

［4］ SIVILOGLOU G A,BROKY J,DOGARIU A,et al.Ballistic dynamics of Airy beams［J］.Optics Letters,2008,33（3）:207-209.

［5］ DURNIN J,MICELI J J,EBERLY J H.Durnin,miceli,and eberlyreply［J］.Physical Review Letters,1991,66（6）:838.

［6］ SHVEDOV V G,RODE A V,IZDEBSKAYA Y V,et al.Giant optical manipulation［J］.Physical Review Letters,2010,105（11）:118103.

［7］ SIVILOGLOU G A,CHRISTODOULIDES D N.Accelerating finite energy Airybeams［J］.Optics Letters,2007,32（8）:979-981.

［8］ XU J,LIU J,JIA J,et al.Contribution of the internaltopologicalstructure of optical Airy beams to optical behaviors［J］.Journal of Optics,2010,12（7）:5705.

［9］ LI J X,ZANG W P,TIAN J G.Vacuum laser-driven acceleration by Airy beams［J］.Optics Express,2010,18（7）:7300-7306.

［10］ JONES P H,STRIDE E,SAFFARI N.Trapping and manipulation of microscopic bubbles with a scanning optical tweezer［J］.Applied Physics Letters,2006,89（8）:081113.

（编辑:张 磊）

Generation and operation of small particles by Airy beams

MA Zhenxin,WANG Haifeng,LIU Zhongzhi,ZHU Houfei
（School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China）

Recently,Airy beams have attracted wide interests due to its unique properties of transverse self-accelerating,diffraction-free and self-healing.The amplitude distribution of light field of Airy beams follows the Airy function,satisfying the similar Schrodinger equation. Researchers have conducted the researches about the Airy beam including theory,experiment, linearity and nonlinearity,application,and other aspects.In this paper,we investigate theoretical principle of generation Airy beams,using a spatial light modulator to experimentally generate Airy beams array.On the basis of it,we use Rayleigh approximation method to investigate the gradient and scattering forces of one-dimensional Airy beams.The impact of particle radius and refractive index on the gradient and scattering forces were discussed.

Airy beams；acceleration；Rayleigh approximation；gradient and scattering forces

O 436

A

10.3969/j.issn.1005-5630.2016.02.008

1005-5630（2016）02-0134-05

2015-04-27

国家重点基础研究发展计划（2015CB352001）

马振新（1990—）,男,硕士研究生,主要从事光束调制与测量方面的研究。E-mail:497383957@qq.com

王海凤（1971—）,男,教授,主要从事理论光学方面的研究。E-mail:wanghaifeng@usst.edu.cn