利用Eξ2≥(Eξ)2证明含n项和的不等式

吴邦昆

(合肥职业技术学院，安徽 巢湖 238000)

利用Eξ2≥(Eξ)2证明含n项和的不等式

吴邦昆

(合肥职业技术学院，安徽 巢湖 238000)

使用常规方法证明含n项和的代数不等式，往往技巧大，过程复杂。如果合理利用概率论中的Eξ2≥(Eξ)2结论证明这类不等式，可以开辟证明方法的新途径，其证法构思新奇，思路清晰，富于规律，易于掌握。

方差；证明；不等式

设ξ是一个只取有限个值a1，a2，a3，…,an的离散型随机变量，其概率分布为p(ξ=ai)=pi﹥0，i=1，2，3，…,n则ξ的方差为

当且仅当a1=a2=a3=…=an=Eξ时等号成立。

证明一类含有n项和的代数不等式时，根据具体不等式的特点，构造相应的随机变量及其概率分布列，利用上述方差性质Eξ2≥(Eξ)2，使得不等式的证明过程构思新奇，思路清晰，具有独特而简洁的功效。现举例如下：

例1：设xi≥0，i=1，2，3，…,n则

当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立

两边开方即得所证不等式，当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立。

例2：设xi>0，i=1，2，3，…,n，则

当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立。

∵Eξ2≥(Eξ)2

当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立。

∵Eξ2≥(Eξ)2

至于什么时候聚，怎么聚，周教授已经安排好了，他说时间么就定在中午，地点么就到郊外，他远房侄儿周青才开不久的桃花源农庄。周教授强调说，现在正值春天，桃花源的风景很好，我们正好都做一回陶渊明么。几个电话里都说好，让周教授等着，他们都到周教授住宅小区门口集合，然后再一起去桃花源农庄。

当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立，原不等式得证。

证明：设随机变量ξ的概率分布列为：

∵Eξ2≥(Eξ)2

而此式显然成立，原不等式得证。

证明：设随机变量ξ的概率分布列为：

∵Eξ2≥(Eξ)2

原不等式得证。

[1]朱胜强.浅谈不等式证明的非常规方法[J].中学数学,2004(8)：20-21.

[2]李向东.由柯西不等式的证明所想到的[J].中学数学,1997(8).

[3]周松.猜想与构造在对称不等式中的运用[J].中学数学,2005(7).

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[5]邓国强.促进思维迁移 提高解题能力[J].中学数学研究,1995(7)：28.

[6]谭维奇.高等数学(下册)[M].南京：江苏人民出版社，2008.

[7]夏国斌.高等数学[M].合肥：安徽大学出版社，2006.

Employment ofEξ2≥(Eξ)2to prove inequalities containing n terms

WU Bang-kun

(Hefei Vocational and Technical College, Hefei Anhui 238000,China)

It is intricate to prove algebraic inequalities containing n terms through conventional methods. TheEξ2≥(Eξ)2conclusion of probability theory provides a novel method to prove this kind of inequalities, and the proving process is clear, logical and easy to grasp.

variance; prove; inequality

2016-08-24

安徽省高校省级质量工程项目：“高等数学”精品资源共享课程(项目编号：2013gxk161)；合肥职业技术学院质量工程项目“高等数学”精品课程(项目编号：JPKC201302)；安徽省高校人文社科重点项目：“大数据背景下高职学生学习力研究”(项目编号：SK2015A734)。

吴邦昆(1964-)，男，安徽庐江人，副教授。主要研究方向：高等数学。

O151.25

A

1673-6125(2016)04-0004-02