考虑尺寸效应的井壁坍塌压力统一强度理论解

崔　莹,屈　展,赵均海,王　萍

(1.西安石油大学土木工程系， 陕西西安710065；2.西北工业大学航空学院， 陕西西安710072； 3.长安大学建筑工程学院， 陕西西安710061)



考虑尺寸效应的井壁坍塌压力统一强度理论解

崔莹1,2,屈展1,2,赵均海3,王萍1

(1.西安石油大学土木工程系， 陕西西安710065；2.西北工业大学航空学院， 陕西西安710072； 3.长安大学建筑工程学院， 陕西西安710061)

针对目前井壁坍塌压力理论计算中未考虑井眼尺寸的问题，依据双剪统一强度理论，引入中间主应力参数b，通过理论分析和实践验证，推导了考虑井眼尺寸的垂直井井壁坍塌压力计算表达式。分析了井眼尺寸、b值、岩石完整性等因素变化对井壁坍塌压力的影响。结果表明：井眼尺寸对浅层井壁稳定的影响较大，井眼扩大或井深增加，井壁坍塌压力相应增加；随着井眼尺寸增大，中间主应力对深层井壁坍塌压力的影响逐渐增加；同一深度处围岩整体性越差，井壁坍塌压力相应越高。本文所推导垂直井井壁坍塌压力计算公式可以对不同井眼尺寸的井壁坍塌压力做出预测，同时考虑中间主应力效应可以充分发挥井壁围岩的强度，为现场低密度钻井液的应用提供理论支持。

双剪统一强度理论；中间主应力；井眼尺寸；坍塌压力

0　引　言

石油钻井过程中为了防止井壁岩石的破坏坍塌，需要一定密度的钻井液充满井眼。研究[1-4]表明，岩石强度除了受其弱面、节理等影响之外，还存在尺寸效应。根据连续介质力学原理，一定尺寸的岩样强度可以认为是相应尺寸井眼围岩的强度[5]，即不同井眼尺寸条件下井壁围岩的强度会发生变化。因此，计算确定不同井眼尺寸下的井壁坍塌压力对确定钻井过程中钻井液密度和保持井壁稳定有着重要的意义。

目前井壁围岩坍塌压力的计算多基于Mohr-Coulomb强度准则[6-8]，然而Mohr-Coulomb强度准则忽略了中间主应力对岩石强度的影响，与实际存在较大差异。Drucker-Prager强度准则考虑了中间主应力的影响[9-11]，但是该准则将中间主应力对岩石强度的贡献夸大，与岩石的真三轴试验结果不符，坍塌压力计算结果需要进行修正。同时，国内外学者以真三轴试验为基础建立的强度准则虽然考虑了岩土材料的三向应力状态，但准则表达式的参数较多，再将岩石强度的尺寸效应引入解析计算较为困难[12-18]。

从以上分析可以看出，钻井过程中岩石强度的尺寸效应可以通过井眼尺寸予以体现。目前的研究中，将中间主应力和井眼尺寸同时引入井壁坍塌压力计算并未涉及,双剪统一强度理论可以合理地反映中间主应力效应并获得了广泛应用[19-22]。本文将岩石强度尺寸效应通过井眼尺寸的变化引入井壁坍塌压力的计算，运用双剪统一强度理论，推导了考虑尺寸效应的垂直井井壁坍塌压力解表达式，分析了不同因素对井壁坍塌压力的影响，所得结果对不同井眼尺寸下井壁坍塌压力的确定及钻井液密度的优化有着一定的实际意义。

1　垂直井井壁围岩应力分布

1.1井壁围岩应力分布表达式

钻井过程中垂直井井壁围岩通常受到一个上覆岩层压力σv，钻井液液柱压力Pi，两个大小不等的水平地应力σH及σh以及孔隙压力Pp的共同作用。设垂直井半径为r0，以垂直井的中心作为原点，径向坐标为r，井壁上某点的矢径与σH的夹角为环向坐标θ，建立极坐标系。井壁围岩三维力学模型如图1所示，极坐标系下井壁围岩应力分量如图2所示。

图1井壁围岩三维力学模型

Fig.1Thethree-dimensional mechanic model ofwellbore rock

图2极坐标系下井壁围岩应力分量

Fig.2The stress component of wellbore rock in the polar coordinate system

假设地层为线弹性多孔材料，井壁沿井轴方向不会发生变形，即井壁围岩处于平面应变状态。依据弹性力学理论，当不考虑地层的渗透作用(即Pp与Pi相互不影响)及应力非线性修正时，井壁围岩应力分布可分别考虑图1中Pi、σH、σh和σv的作用，并依据线性叠加原理叠加得到在钻井液柱压力和地应力的联合作用下，井壁围岩应力分布式为：

(1)

式中：Pi为钻井液液柱压力，MPa；σH为最大水平地应力，MPa；σh为最小水平地应力，MPa；σv为上覆岩层压力，MPa；μ为岩石泊松比。其余符号含义同前。

将r=r0代入式(1)，得垂直井井壁表面的应力分布式为：

(2)

考虑围岩孔隙压力Pp，则垂直井井壁表面的有效应力分布可表达为：

(3)

式中：ξ为有效应力系数；Pp为孔隙压力，MPa。

1.2井壁坍塌处主应力的确定

(4)

对于井壁围岩剪切破坏的情况，考虑式(4)得井壁坍塌处三个主应力表达式分别为：

(5)

2　双剪统一强度理论

2.1理论公式

俞茂宏建立的双剪统一强度理论[24]认为：当作用于双剪单元体上的两个较大切应力及其面上的正应力达到某一极限值时，材料开始发生破坏。双剪统一强度理论的数学表达式有多种形式，引入岩石力学中剪切强度参数C0和岩石内摩擦角φ，以主应力形式表述的双剪统一强度理论公式(视压应力为负)为：

(6)

(7)

其中：σ1为大主应力，MPa；σ2为中间主应力，MPa；σ3为小主应力，MPa。α为材料拉压强度比系数；τ0为材料剪切屈服极限，MPa；ft为材料拉伸屈服极限，MPa；fc为材料压缩屈服极限，MPa；b为反映中主切应力以及相应面上的正应力对材料破坏影响程度的系数。

2.2井壁围岩塑性区双剪统一强度理论表达式

井壁围岩处于平面应变状态，对于平面应变弹塑性问题，根据文献[25]可知：

(8)

σH:σh:σv=[μ(εh+εv)+(1-μ)εH]:[μ(εv+εH)+(1-μ)εh]:[μ(εH+εh)+(1-μ)εv],

(9)

式中：εH为水平最大地应力方向应变量，εh为水平最小地应力方向应变量，εv为竖向地应力方向应变量。

将井壁坍塌处主应力表达式(5)代入式(8)，可得：

(10)

(11)

2.3考虑尺寸效应的井壁坍塌压力统一解表达式

2.3.1尺寸效应对岩石强度的影响

Hoek等[26]依据岩石单轴抗压强度的尺寸效应实验及数据拟合，得到单轴抗压强度与岩样直径具有以下幂律衰减关系：

(12)

式中：U为任意直径岩样的单轴抗压强度，MPa；U50为直径50 mm岩样的单轴抗压强度，MPa；D为岩样直径，据前述，一定尺寸的岩样强度可以认为是相应尺寸井眼围岩的强度，因此D取井眼直径，mm；n为正的经验衍生常数，一般取0.18，岩石的完整性越差，内部裂缝越发育，n的取值越大。

令推导所得井壁围岩塑性区双剪统一强度理论表达式(11)中的σ3=0，即得单轴条件下井壁围岩塑性区双剪统一强度理论表达式为：

(13)

2.3.2考虑井眼尺寸效应的坍塌压力统一解

将式(13)代入式(12)，同时考虑式(11)，整理得：

(14)

式(14)即为考虑井眼尺寸效应的双剪统一强度理论表达式。再将井壁坍塌处三个主应力表达式(5)代入式(14)，整理得考虑井眼尺寸效应的垂直井井壁坍塌压力(即石油天然气工程中所提及的“当量钻井液密度”)统一解公式：

(15)

3　考虑尺寸效应的井壁坍塌压力计算

3.1工程实例

克拉玛依油田呼2井安集海河组相关地质资料的具体参数如下[3,27]：

井段范围：H=2 900～2 940 m；地应力梯度：σH=2.73 MPa/100 m，σh=1.82 MPa/100 m，σv=2.34 MPa/100 m；地层孔隙压力系数：pp=1.2；有效应力系数：ξ=0.4；泊松比：μ=0.2；岩石强度参数：C0=11.08 MPa，U50=31.52 MPa，φ=19.8°。

3.2不同b值下井壁坍塌压力分析

(a)D=127 mm

(b)D=152.4 mm

(c)D=215.9 mm

(d)D=244.5 mm

图3坍塌压力(当量钻井液密度)随井深变化曲线(不同b值)

Fig.3Relationship between collapse pressure (equivalent drilling fluid density) and wellbore depth (differentbvalue)

选择井段范围H=2 900～2 940 m，计算不同b值条件下不同井眼尺寸的井壁坍塌压力(当量钻井液密度)变化范围，结果如表1所示。

从表1中的数据可以看出，当b值不变时，随着井眼的不断扩大，井壁坍塌压力(即当量钻井液密度)相应增加，说明同一条件下井眼越大井壁稳定性越差。同时，通过分析数据可以看出，不同b值不同井眼尺寸间井壁坍塌压力(即当量钻井液密度)差异较大，以b=0时，直径127 mm井眼和b=1.0时，直径244.5 mm井眼的井壁坍塌压力比较为例，由于考虑了中间主应力的积极作用，后者的井壁坍塌压力反而小于前者，井壁坍塌压力降低了8.8%。这表明虽然较大的井眼尺寸会造成井壁稳定性较差，但是考虑中间主应力对围岩强度的贡献仍可有效降低钻井液密度。

表1　不同b值条件下同一井段不同井眼尺寸井壁坍塌压力(当量钻井液密度)计算结果Tab.1　Calculation results of collapse pressure (equivalent drilling fluid density) under condition of different b value at the same depth

图4　不同井眼尺寸条件下坍塌压力(当量钻井液密度)随井深变化曲线(b=1)Fig.4　Relationship between collapse pressure (equivalent drilling fluid density) and wellbore depth under condition of different borehole size (b=1)

3.3不同井眼尺寸下井壁坍塌压力分析

为考查不同井眼条件下井壁坍塌压力的变化情况，令b=1，n=0.18，井眼尺寸分别取127、152.4、215.9和244.5 mm，依据式(15)得出不同井眼条件下坍塌压力(即当量钻井液密度)随井深变化曲线如图4所示。从图4中的曲线变化情况可以看出，在同一井眼尺寸下，井壁坍塌压力随深度的增加而相应增大；同一深度处，随着井眼尺寸增大井壁坍塌压力相应增加。随着深度的不断增加，不同井眼条件下坍塌压力的差异逐渐由18.7%降低至1.8%，说明在同等条件下，井眼尺寸对浅层井壁稳定的影响较大，井眼尺寸越大，浅层井壁坍塌压力越大，井壁稳定性越差。

3.4不同n值下井壁坍塌压力分析

n的取值与岩石内部裂缝发育有关。令b=1.0，井眼直径D=215.9 mm，同时令n分别为0、0.1、0.13和0.18，依据式(15)得出不同n值条件下坍塌压力(即当量钻井液密度)随井深变化曲线如图5所示。从图5可以看出，不同n值条件下，井壁坍塌压力均随深度增加而不断增大。同一深度下，n值越大，井壁坍塌压力相应越高，井壁稳定性越差。随着深度的增加，不同n值间井壁坍塌压力差异由50.7%降低至4.2%，说明岩石裂缝发育程度对浅层井壁的稳定性影响较大。

n值在一定程度上反映了岩石的强度，b值反映了中间主应力对材料屈服的影响。为了进一步考察两者之间的关系，选择井段范围内2 900 m深度处，令b分别等于0、0.2、0.4、0.8、1.0，依据式(15)得出不同n值条件下(令n分别为0、0.1、0.13、0.18)，坍塌压力(即当量钻井液密度)随b值变化曲线如图6所示。由图6可以看出，同一b值条件下，n值越小井壁坍塌压力越低，同一n值条件下，b值越大井壁坍塌压力越低。取n=0和n=0.18进行比较可以发现，不同b值条件下坍塌压力可以降低5.7%。

图5不同n值条件下坍塌压力(当量钻井液密度)随深度变化曲线(b=1)

Fig.5Relationship between collapse pressure (equivalent drilling fluid density) and wellbore depthunder condition of differentnvalue (b=1)

图6不同n值条件下坍塌压力(当量钻井液密度)随b值变化曲线

Fig.6Relationship between collapse pressure (equivalent drilling fluid density) andbvalue under condition of differentnvalue

4　结　语

①考虑中间主应力可以充分发挥围岩的强度储备从而在一定程度上降低钻井液密度。

②不同井眼尺寸条件对井壁坍塌压力有较大影响。当其他条件不变时，井眼尺寸对浅层井壁稳定的影响较大。同时，井眼扩大或井深增加，井壁坍塌压力相应增加，井壁稳定性降低。

③当井眼尺寸增加时，中间主应力对深层井壁坍塌压力的影响会相应提升。当现场采用较大井眼尺寸时，可以应用本文所推导的考虑井眼尺寸效应的垂直井井壁坍塌压力统一解公式，引入井壁围岩中间主应力的积极作用，在保证深层井壁稳定的前提条件下降低钻井液密度。

④围岩整体性对浅层井壁坍塌压力有较大影响。围岩整体性越差，井壁坍塌压力相应越高。在整体性较差的围岩中考虑中间主应力积极作用仍可以充分发挥井壁围岩的强度，从而降低钻井液密度。

⑤本文推导得到的垂直井井壁坍塌压力计算公式同时考虑了中间主应力和井眼尺寸的影响。可以对不同井眼尺寸下井壁坍塌压力的计算做出预测，同时通过改变b值的大小可以反映中间主应力贡献，为现场低密度钻井液的应用提供了一定的理论支撑。

[1]陈朝伟,周英操,申瑞臣,等.考虑岩石尺寸效应的井壁稳定性分析[J]. 石油钻探技术, 2009, 37(3): 38-41.

[2]袁俊亮,邓金根,李大华,等.页岩储层微小井眼钻井坍塌压力计算方法[J]. 科技导报, 2013, 31(7): 71-74.

[3]林海,伍葳.井眼尺寸对井壁稳定性影响研究[J]. 科学技术与工程, 2013, 13(18): 5308-5311.

[4]邓树新,郑永来,郑顺,等.考虑围压对岩石强度尺寸效应影响的统计模型[J]. 水文地质工程地质, 2015, 42(1): 61-64.

[5]陈朝伟,周英操,刘玉石.井壁稳定性尺寸效应初探[C]//王长宁: 第八届石油钻井院所长会议论文集.北京:石油工业出版社, 2009: 791-795.

[6]HAIMSON B C, CHANG C.A new true triaxial cell for testing mechanical properties of rock and its use to determine rock strength and deformability of Westerly granite[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2007, 37(1):285-296.

[7]HAIMSON B C, CHANG C.True triaxial strength of the KTB amphibolite under borehole wall conditions and its use to estimate the maximum horizontal in-situ stress[J]. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 2002, 107(B10):2257-2271.

[8]刘玉石.地层坍塌压力及井壁稳定对策研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2004, 23(14): 2421-2423.

[9]李天太,孙正义.井壁失稳判断准则及应用分析[J]. 西安石油学院学报(自然科学版), 2002, 17(5): 25-27.

[10]邱康,陈勉,金衍.基于统计损伤的井壁坍塌压力模型[J]. 岩土力学, 2011, 32(7): 2029-2033.

[11]周凤玺，李世荣.广义Drucker-Prager强度准则[J]. 岩土力学, 2008,29(3):747-751.

[12]AL-AJMI A M, ZIMMERMAN R W.Relationship between the parameters of the Mogi and Coulomb failure criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2005, 42(3):431-439.

[13]AL-AJMI A M, ZIMMERMAN R W.Stability analysis of vertical boreholes using the Mogi-Coulomb failure criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2006, 43(8):1200-1211.

[14]COSTAMAGNA R, BRUHNS O T.A four-parameter criterion for failure of geomaterials[J]. Engineering Structures, 2007, 29(3):461-468.

[15]MORTARA G.A new yield and failure criterion for geomaterials[J]. Geotechnique, 2008, 58(2): 125-132.

[16]陈景涛,冯夏庭.高地应力下硬岩的本构模型研究[J]. 岩土力学, 2007, 28(11):2271-2278.

[17]姚仰平,路德春,周安楠,等.广义非线性强度理论及其变换应力空间[J]. 中国科学(E辑), 2004, 34(11):1283-1299.

[18]周小平,钱七虎,杨海清.深部岩体强度准则[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(1):117-123.

[19]赵均海,崔莹,张常光,等.灰土挤密复合地基桩体极限承载力统一解[J]. 广西大学学报(自然科学版),2013,38(1): 125-131.

[20]赵均海,李艳,张常光,等.基于统一强度理论的石油套管柱抗挤强度[J]. 石油学报, 2013, 34(5): 969-976.

[21]崔莹,赵均海,张常光,等.基于统一强度理论的灰土桩复合地基挤密影响区半径计算[J]. 岩土力学, 2013, 34(4):1116-1120.

[22]崔莹,屈展，赵均海,等.基于双剪统一强度理论的垂直井井壁坍塌压力解[J]. 广西大学学报(自然科学版), 2016, 41(2): 346-354.

[23]陈勉,金衍,张广清.石油工程岩石力学[M]. 北京：科学出版社, 2008.

[24]MAO-Hong yu.Unified strength theory and its applications[M]. Germany: Springer-verlag Berlin Heidelberg, 2004.

[25]俞茂宏,杨松岩,刘春阳,等.统一平面应变滑移线场理论[J]. 土木工程学报, 1997, 30(2):14-41.

[26]HOEK E, BROWN E T. Practical estimates of rock mass strength[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1997, 34(8):1165-1186.

[27]邓金根,程远方,陈勉,等.井壁稳定预测技术[M]. 北京：石油工业出版社, 2008.

(责任编辑唐汉民梁碧芬)

Solution of collapse pressure of vertical wellbore considering size effect based on twin shear unified strength theory

CUI Ying1, 2，QU Zhan1, 2，ZHAO Jun-hai3，WANG Ping1

(1.Department of Civil Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an 710065, China;2.School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;3.School of Civil Engineering, Chang’an University, Xi’an 710061, China)

As the theoretical values of collapse pressure of vertical wellbore did not consider the condition of different borehole size, based on the twin shear unified strength theory and the mechanical model of wellbore rock, the calculation of collapse pressure of vertical wellbore without considering the penetration of wellbore is analyzed and discussed. Under different borehole size and rock stress, the value of collapse pressure of vertical wellbore changes. It is meaningful to define the value of collapse pressure considering the effect of borehole size and the intermediate principal stress, because the value of collapse pressure will affect the drilling fluid density and wellbore stability. Based on the twin shear unified strength theory and theoretical analysis, considering the effect of borehole size, the calculation of collapse pressure of vertical wellbore without considering penetration of wellbore is analysed and discussed. The unified formula of the collapse pressure is deduced and proved by analyzing the different factors, such as the borehole size, thebvalues and the integrity of rock. The results show that the borehole size has greater impact on the collapse pressure of shallow borehole wall than that on the collapse pressure of deep borehole. And the collapse pressure increases with the borehole size or the wellbore depth. The results also show that the intermediate principal stress has greater impact on the collapse pressure of deep borehole wall than that on the collapse pressure of shallow borehole after the borehole size change. Furthermore, the collapse pressure increases with the decreases of the integrity of surrounding rock. And the solution considering the intermediate principal stress effect is positive to the ultimate strength of rock. The deduced unified formula of the collapse pressure based on the twin shear unified strength theory can offer theoretical support for the application of low-density drilling fluid by changing the value ofb.

twin shear unified strength theory; intermediate principal stress; borehole size; collapse pressure

2016-05-12；

2016-05-27

国家自然科学基金资助项目(51174162)；陕西省教育厅专项科研计划项目(15JK1561)；西安石油大学青年科技创新基金项目(2015BS17)

崔莹(1979—)，男，陕西西安人，西安石油大学讲师，博士;E-mail: cuiying126@163.com。

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.1153

TU452

A

1001-7445(2016)04-1153-09

引文格式：崔莹,屈展,赵均海,等.考虑尺寸效应的井壁坍塌压力统一强度理论解[J].广西大学学报(自然科学版)，2016，41(4)：1153-1161.