浅议逆用函数求导公式解题

韩永权

摘要：在使用数学公式解题时，我们可以正用公式、逆用公式、变形使用公式。如两角和与差的三角公式逆用，引出了辅助角公式；线性规划的目标函数，常见的有截距、距离、斜率公式的逆用；求定积分的运算就是求导公式的逆用寻找原函数；利用求导的方法可以解决函数的许多性质，如果能熟练逆用求导公式，就可以起到事半功倍的效果。

关键词：导数公式逆用；利用公式解题；熟练逆用公式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0093

本文通过对求导数公式的逆用、构造新函数，并结合函数的单调性、奇偶性来解决问题，希望对大家有所帮助，不妥之处请同行批评指正。

一、常见的函数求导公式

1. 两个函数和差的导数公式[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x） 2. 两个函数积的导数公式[f（x）·g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x） 3. 两个函数商的导数公式[ ]′=

二、对灵活求导公式的举例

类型一：差导数公式逆用

例1. 设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）>g′（x），则当a

A. f（x）>g（x） B. f（x）

C. f（x）+g（a）> g（x）+f（a） C. f（x）+g（b）> g（x）+f（b）

解：构造F（x）=f（x）-g（x），则F′（x）=f′（x）-g′（x）>0，∴F（x）为增函数，

∴F（a）

即f（a）-g（a）g（x）+f（b），选D

类型二：积的导数公式逆用

例2. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）g（x）+f（x）-g′（x）>0.且g（1）=0.则不等式f（x）g（x）<0的解集是 。

解：构造F（x）=f（x）g（x），则F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，∴当x<0时，F（x）为增函数，又F（x）为奇函数，由g（1）=0，得F（1）-F（-1）=0，结合F（x）的图象可得F（x）<0的解集为（-∞，-1）∪（0，1）

例3. 设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）0的解集为（ ）

A. （-∞，-2012） B. （-2012，-0）

C. （-∞，-2016） D. （-2016，0）

解：构造F（x）=xf（x），由f（x）+xf′（x）F（-2），又F（x）在（-∞，0）是减函数，∴x+2014<-2，即x<-2016，故选C。

例4. 设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）+xf′（x）>0.则不等式f（ ）> f（ ）的解集为 。

解：构造h（x）=xf（x），因为f（x）+xf′（x）>0，h′（x）=[xf′（x）]>0，h（x）在定义域上递增函数，所以 f（ ）> f（ ），∵x≥1，∴ > ，x<0，解集为[1，2）

例5.设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）>x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）-4f（-2）>0的解集为（ ）

A. （-∞，-2012） B. （-2012，0）

C. （-∞，-2016） D. （-2016，0）

解：构造F（x）=x2f（x），由2f（x）+xf′（x）>x2，x<0，得2xf（x）+x2f′（x）0，F（x）在（-∞，0）是减函数，所以由F（2014+x）>F（-2）得，2014+x<-2，即x<-2016，故选C。

类型三：商的导数公式逆用：当出现导数差的形式时，可以考虑商的求导公式

例6.已知f（x）函数是定义在R上的奇函数，f（1）=0， 当x>0时，有 >0成立，则不等式f（x）>0的解集是（ ）

A. （-1，0）∪（1，+∞） B. （-1，0）

C. （1，+∞） D. （-∞，-1）∪（1，+∞）

解：构造F（x）= 由当x>0时，有 >0成立，知函数F（x）= 的导函数F′（x）= >0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）= 在（0，+∞）上是增函数，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数F（x）= 是定义域上的偶函数，且由f（1）=0得F（-1）=F（1）=0，由此，由F（x）= 的图象，可知不等式f（x）>0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）。故选A。

例7. 函数f（x）是R上的可导函数，x≠0时，f′（x）+ >0，则函数g（x）=f（x）+ 的零点个数为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

解：构造函数F（x）=xf（x），F′（x）=f′（x）x+f（x），由f′（x）+ >0得， >0，当x>0时，F′（x）>0，F（x）为增函数，当x<0时，F′（x）<0，F（x）为减函数，由F（0）=0，得F（x）≥0时，g（x）=f（x）+ = = 无零点

例8. 设函数F（x）= 是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）

A. f（2）e2f（0），f（2012）

C. f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0） D. f（2）e2012f（0）

解：构造F（x）= ，由f′（x）

例9. 设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），f′（x）>f（x），且f（3）=1，解不等式f（x）>ex-3

解：构造g（x）= ，则g′（x）= ，因为f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函数g（x）在R上为增函数，g（x）>g（3），∴不等式f（x）>ex-3的解集为{x|x>3}。

例10. 若定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x），则f（2011）>f（2009）e2与的大小关系为（ ）

A. f（2011）

C. f（2011）>f（2009）e2 D.不能确定

解：构造g（x）= ，则g′（x）= ，因为f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函数g（x）在R上为增函数，则 > ，即f（2011）>f（2009）e2.故选C。

例11. 若不等式定义在0， 上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）

A. f > f B. f < f

C. f >f D. f

解：构造F（x）= ，x∈0， 时，cosx>0，由f（x）0，则F′（x）>0，函数F（x）= 为增函数，由 < ，则 < ，可得 f

例12. 已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x<0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或3

解：构造F（x）= 由2f（x）+xf′（x）x2f（x），F′（x）= >0，函数F（x）= 为增函数，当x<0，F（x）0，f（x）<0，f（x）为奇函数，f（x）零点个数为1， 故选A。

例13. f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-1）=0，当x>0时，（x2+1）f′（x）-2xf（x）<0，则不等式f（x）>0的解集（ ）

解：构造F（x）= ，由F′（x）= <0，F（x）为减函数，F（x）为奇函数，f（-1）=0，∴F（-1）=0结合F（x）的图象可得不等式f（x）>0的解集为（-∞，-1）∪（0，1）

例14. 设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，则x>0时，f（x）（ ）

A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值

解：构造函数F（x）=x2f（x），则F′（x）=x2f′（x）+2xf（x）= ，F（2）=4f（2）= 由x2f′（x）+2xf（x）= ，得f（x）= ，∴f′（x）= 。令？渍（x）=ex-2F（x），则？渍′（x）=ex-2F′（x）=ex- = 。∴？渍（x）在（0，2）（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=ex-2F（2）=0，φ（x）≥0，又x≥0，∴f′（x）≥0。∴f（x）f（x）在（0，+∞）单调递增。∴f（x）既无极大值也无极小值。故选D.

类型四：构造组合函数形式

例15. 定义在上R上的可导函数f（x），满足f（-x）+f（x）=x2，当x<0时，f′（x）

解：构造g（x）=f（x）- x2，g（x）+g（-x）=0，由g（x）为奇函数，当x<0时，g′（x）=f′（x）-x<0，g（x）为减函数，f（x）+ ≥f（1-x）+x，可得f（x）- x2≥f（1-x）- （1-x）2，即g（x）≥g（1-x） ∴x≤1-x，即x≤

例16. 定义在上R上的可导函数f（x），满足f（-x）+f（x）=x2，当x>0时，f′（x）>x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数的取值范围是 。

解：构造g（x）=f（x）- x2，g（x）+g（-x）=0，g（x）为奇函数，当x>0时，g′（x）=f′（x）-x>0，g（x）为增函数，f（2-a）-f（a）≥2-2a，可得f（2-a）- （2-a）2≥f（a）- a2，即g（x）≥g（1-x） ∴g（2-a）≥g（a），2-a≥a，即a≤1

以上列举了逆用求导公式解不等式的五种类型，在平时的数学试题编拟时，也经常用到逆用公式这种方法，只有我们经常训练自己的逆向思维能力，才能增强解题能力。