2015年高考考题研究《例谈线性规划的解题策略》

摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。简单的线性规划问题在现实的生产、生活中经常用到，如资源利用、人力调配、生产安排等。随着课程改革的不断深入，线性规划问题在近几年高考命题中成了热点。此类试题经常是以二元一次不等式（组）为约束条件，求目标函数的最值为背景，考查考生的数形结合能力和运用数学知识综合解决问题的能力，备受命题者的青睐。

关键词：数学；高考；线性规划问题；解题策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0064

纵观2015年全国各地高考试题，线性规划问题大致可分为四种类型。下面，笔者以真题剖析，旨在探寻题型规律，揭示此类型题的解题策略。

类型一：求线性目标函数的最值

例1. 【2015高考北京，理2】若，满足x-y≤0，x+y≤1，x≥0，则z=x+y的最大值为（ ）

A. 0 B. 1 C. D. 2

【解析】如图，先画出可行域，由于z=x+2y，则y=x+z，令z=0，作直线y=-x，在可行域中作平行线，得最优解（0，1），此时直线的截距最大，z取得最小值2。故选D

点评：对线性规划问题，先作出可行域，再作出目标函数，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出最优解，代入目标函数，求出最值。此题主要考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力。

点评：解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错。

规律总结：求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的几何意义。截距型：形如z=ax+by，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：y= x+ z，（b≠0）通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值.

类型二：简单线性规划的实际应用

例2. 【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

A. 12万元 B. 16万元 C. 17万元 D. 18万元

【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y

由题意可列3x-2y≤12x+2y≤8x≥0y≥0，

其表示如图阴影部分区域：

当直线3x-2y-z=0过点A（2，3）时，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18，故选D。

点评：利用图解法解决线性规划问题，要注意合理利用表格，帮助理清繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求。如果要求整点，则要用平移法验证。

规律总结：与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题。其一般步骤是：一设未知数，确定线性约束条件及目标函数；二是转化为线性规划模型；三解该线性规划问题，求出最优解；四调整最优解。

类型三：线性规划的综合问题及求非线性目标函数的最值

例3. 【2015高考浙江，理14】若实数x、y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是（ ）

【解析】x2+y2≤1表示圆=1及其内部，易得直线6-x-3y=0与圆相离，故|6-x-3y|=6-x-3y，当2x+y-20时，|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，如右图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z=x-2y+4，则可知当x=，y=时，z的最小值=3；2x+y-2≤0时，|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域为大得弓形内部，目标函数z=8-3x-4y，同理可知当x=，y= 时，z的最小值=3。综上可述，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3。

点评：本题以线性规划为背景的应用题，主要考查了：1. 线性规划的应用；2. 分类讨论的数学思想；3. 直线与圆的位置关系，属于中档题。根据可行域是圆及其内部的特点，结合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类讨论的数学思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解。

点评：主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy=k，y=，则转化为反比例函数y=的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑。而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视。属于较难题。

规律总结：与二元一次不等式（组）表示的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成。常见代数式的几何意义：（1）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离。（2）表示点（x，y）到直线Ax+By+C=0的距离。（3）z= 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率。要注意转化的等价性及几何意义。

类型四：含有参数的线性规划问题

例4. 【2015高考山东，理6】已知x，y满足约束条件x-y≥0x+y≤2，y≥0若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）

A. 3 B. 2 C. -2 D. -3

【解析】不等式组x-y≥0x+y≤2y≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如右图中的阴影部分所示：

若z=ax+y的最大值为4，则最优解可能为x=1，y=1或x=2，y=0，经检验，x=2，y=0是最优解，此时a=2；x=1，y=1不是最优解。故选B。

点评：本题通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力。非线性的目标函数的问题，常需考查目标函数或可行域的几何意义求解，应予以关注。

规律总结：解决此类问题，关键是通过对线性规划的深化理解，确定参数的值。

作者简介：翟常海，任教于山东省淄博第五中学，特级教师。