一次函数与分类讨论

鲍聪晓

编者按：在一次函数的有关问题中，常常需要进行分类讨论，既有因k，b的正负性引起的。也有因实际问题的要求引起的。所以在解一次函数的题目对，一定要慎重思考，避免以偏概全，漏掉特殊情况。下面这篇文章对一次函数中的分类讨论进行了较细致的归纳。

我们经常会把一些需要研究的问题根据题目的特点和要求分成若干类，转化成若干个小问题来解决。这种按不同情况分类。然后再逐一研究的数学思想，称为分类讨论思想。在一次函数的学习中，我们经常要用到分类讨论思想。

一、一次函数概念中的分类讨论

一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫作x的一次函数。

例1 当m=____时，y=（m-3）x^2m+1-4x+5是关于x的一次函数。

分析：本题考查一次函数的定义，解题的

关键是把握一次函数定义的特征：①k不为0；②x的指数为1；③b可取任意实数。

解：（1）当m-3=0，即m=3时，y=-4x+5，是一次函数：

（2）当2m+1=1，即m=0时，y=-7x+5，是一次函数。

综上，m=0或m=3。

例2 已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是____。

解：（1）当m=0时，直线y=-2x经过第二、四象限和原点，不经过第三象限；

（2）当m>0时，直线y=-2x+m经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

综上，m≥0。

二、一次函数性质应用中的分类讨论

一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

例3 已知y是x的一次函数。若自变量x的取值范围是-2≤x≤3时，相应的函数值的范围是一4≤y≤1，求这个一次函数的解析式。