解决选择、填空题中抽象函数问题的几个有效方法

周建萍

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0123-01

在高考数学的选择题中，有一类问题的求解是学生颇感困难的，即抽象函数问题。由于此类问题中的函数为抽象函数，不像具体的函数有确定的函数解析式，也没有确定的性质可用，学生解题时往往感觉无从入手。加上此类问题大多综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，常常还要运用到化归的数学思想和数形结合的数学思想。本文就近几年高考题中出现的抽象函数问题，谈谈解决这类问题的几种有效方法。

一、赋值法

由于抽象函数没有具体的函数解析式，求函数值时无解析式可代入，故其求函数值时常采用赋值法。

1.（四川卷）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（ ）

2.（陕西卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（-3）等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

解析：由于函数f（x）是抽象函数，故适合赋值法。

由已知f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0）+2×0×0，所以f（0）=0，令x=y=1得f（2）=f（1）+f（1）+2×1×1=6，f（3）=f（2）+ f（1）+2×2×1=12，令x=3，y=-3得f（0）=f（3）+f（-3）+2×3×（-3），因为 f（0）=0，所以f（-3）=6.故选C

二、利用函数的性质法

抽象函数问题大多涉及函数的奇偶性、周期性，单调性等性质，又由于其为抽象函数，不像具体的初等函数有确定的函数性质，因而解决这类问题必须从函数性质的定义出发，运用化归的数学思想和数形结合的数学思想等解答问题。

3.（全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）

A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+3）是奇函数

解析：本题中涉及函数图像的平移，函数的奇偶性、周期性等性质，加上函数f（x）是抽象函数，学生往往感觉无从入手。事实上，只要抓住函数图像的平移，函数的奇偶性质的判定，问题不难解决。

∵ f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）= -f（x-1）

∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，函数f（x）是周期为T=2|1-（-1）|=4的周期函数。f（-x-1+4）=f（x-1+4），即f（-x+3）= -f（x+3），即f（x+3）是奇函数。故选D。

三、构造函数法

4.（2015课标卷Ⅱ12题）函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）

四、数形结合法

5. （山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）= -f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间 [-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=________.

解析：本题综合了函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，以及由函数图像解答方程问题，但因为函数是抽象函数，故运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答。

因为f（x）为定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），所以 f（x-4）=f（-x），由f（x）为奇函数，所以函数图像关于直线x=2对称且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x），所以函数是以8为周期的周期函数。又因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（x）在区间[-2，0]上也是增函数。如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

答案：-8

抽象函数问题是高考中的常考题型，其考查的核心是函数的性质：奇偶性、单调性、对称性、周期性，有时还有函数图像的变换等，更由于是用抽象函数来考查学生对这些性质的掌握，所以常常难度较大，学生往往感觉无从入手，这类问题具有一定的综合性，对学生思维能力要求极高，具有较高的区分度，不经过一定的训练学生是很难解决这类问题的。