以小见大——统计图表中的数学思想

沈良琴



以小见大
——统计图表中的数学思想

沈良琴

数学思想是数学知识的提炼与升华，是分析问题、解决问题的好帮手.在本章的学习中，我们不仅要学习统计的相关概念，还要体会其中的数学思想.下面举例剖析.

一、用样本估计总体的思想

例1（2015·海南中考）为了治理大气污染，我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数，绘制了如下不完整的统计图表：

空气质量指数统计表

图1-1　空气质量指数条形统计图

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：

（1）空气质量指数统计表中的a=______，m=______；

（2）请把空气质量指数条形统计图补充完整；

（3）若绘制“空气质量指数扇形统计图”，级别为“优”所对应扇形的圆心角是_______度；

（4）估计该市2014年（365天）中空气质量指数大于100的天数约有_______天.

【思路剖析】本题主要考查了频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图的有关概念，以及用样本估计总体的统计思想，解题的关键是正确从频数分布统计表和直方图中获取有用信息.

（1）频率=频数÷数据总数；

（2）根据a的值补充完整统计图；

（3）扇形的圆心角=该部分所占百分比×360°；

（4）图上天数之和120天，利用样本估计总体的方法，用365ד空气质量指数大于100的天数”频率（或所占百分比）即可.

解：（1）a=120×40%=48，

m=24÷120×100%=20%；

（2）补充完整统计图（图1-2）如下：

图1-2　空气质量指数条形统计图

（3）360°×20%=72°；

（4）365×（15%+12.5%+7.5%+5%）= 146（天）.

易错点：此类问题容易出错的地方是：

”认识不清或掌握不够，不会运用公式或出现变形错误.

图2　

例2（2015·北京中考）北京市2009～2014年轨道交通日均客运量统计如图2所示.根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约_______万人次，你的预估理由是_________.

【思路剖析】本题主要考查了折线统计图，值得一提的是本题还考查了用样本中的数据估算未来一段时间内事物发展变化的趋势.解题的关键是能根据北京市2009～2014年轨道交通日均客运量的变化情况大致预估出未来一年内轨道交通日均客运量.

思路1：根据北京市2009～2014年轨道交通日均客运量计算出客运量平均增长人数，再将2014年日均客运量加上客运量平均增长人数即可预估2015年日均客运量；

思路2：按照2013～2014年的增长情况直接进行估算；

思路3：按照2012～2013年的增长情况直接进行估算.

因此，答案是不唯一的，结果在980至1140之间即可，参考答案如下：

方法1：2009～2014年客运量平均增长人数为（930-390）÷5=108（万人次），

∴预估2015年北京市轨道交通日均客运量约930+108=1038（万人次），故答案为1038.

方法2：2013～2014年客运量增长人数为930-880=50（万人次），

∴预估2015年北京市轨道交通日均客运量约930+50=980（万人次），故答案为980.

方法3：2012～2013年客运量增长人数为880-670=210（万人次），

∴2014～2015年的增长客运量可能为210万人次，

∴预估2015年北京市轨道交通日均客运量约930+210=1140（万人次），故答案为1140.

【点评】折线统计图不但可以表示出数量的多少，还能清楚地表示出数量增减变化的情况，并对未来一段时间内事物的发展情况进行预估和推断.

二、数形结合的思想

例3（2015·湖北恩施州中考）某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设“A.踢毽子；B.篮球；C.跳绳；D.乒乓球”四项运动项目（每位学生必须选择一项）.为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图3所示的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（）.

A.240B.120

C.80D.40

图3　

【思路剖析】本题考查条形图和扇形统计图，解题的关键是从统计图中获取相关数据的信息.根据学生最喜欢A.踢毽子项目的人数是80人，而相应人数所占的百分比是40%，即可求得总人数为80÷40%=200（人），然后把总人数减去喜欢A、B、D项目的学生数，得：200-80-30-50=40，因此最喜欢跳绳运动项目的学生数为40人.故选D.

易错点：此类问题容易出错的地方是读错条形图与扇形图之间的关系.

例4（2015·浙江省杭州中考）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾.如图4是杭州市某一天收到的厨余类垃圾的统计图.

（1）试求出m的值；

（2）杭州市那天收到厨余垃圾共约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数.

图4　

【思路剖析】本题考查了扇形统计图的识别与计算，解题的关键是从统计图中获取解题所需要的信息.

（1）利用各部分百分比之和等于1求得m，（2）利用总量乘百分比得部分吨数解答.

解：（1）m=100-（22.39+0.9+7.55+0.15）=69.01；

（2）其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约为200×0.9%=1.8（吨）.

规律总结：在扇形统计图中，以整个圆面积代表统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形面积表示，扇形面积占圆面积的百分之几就代表该统计项目占总体的百分之几.扇形各部分的百分比之和等于1.

（作者单位：江苏省常州市北环中学）