小学问大用途

2016-08-19薛秋萍

初中生世界 2016年13期

关键词：因式公因式平方差

薛秋萍

小学问大用途

薛秋萍

因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式.在解决问题时，如能灵活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁为简，方便快捷的效果.

例1 电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1= 12.9Ω，R2=18.5Ω，R3=18.6Ω，I=2 A时，求U的值.

【分析】直接代入数值，

如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式.

例2某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3 300 m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34％，第二月完成36％，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？

【分析】总共有3 300 m的道路，第一个月完成了34％，即完成了3 300×34％；第二月完成了36％，即完成了3300×36％.

两个月共完成了3 300×34％+3300× 36％，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果对3 300×34％+3 300×36％提取公因式，就简单多了.

所以这两个月共完成2310m拓宽任务.

【点评】某些实际问题，如果列出的代数式中含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单.

例3学校在一块边长为13.2 m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4 m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130 m2的草坪，够不够铺绿地？

【分析】原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单.

解：依题意得

因为130＞128，

所以购买130 m2的草坪，够铺绿地.

例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如图1所示，其规格为“20cm×60 m”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为3.6cm、4.4cm，则该种保鲜膜的厚度约为_______cm（结果保留π）.

图1

【分析】圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的.

设厚度为xcm，展开时体积为x×20× 6 000（cm3），

解：设厚度为xcm，依题意得：

【点评】如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式.

例5某公园有一块长为51.2 m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图2小路宽1.2 m，问剩余绿地的面积是多少？

图2

【分析】用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积.

所以剩余绿地的面积为2 500 m2.

例6如图3，开发商要在原来小区（正方形）的基础上进行征地扩建，且使扩建后的小区平面仍旧是正方形.如果土地的成本价是1 500元/m2，开发商在整个小区的土地成本投资应是多少万元？

图3

【分析】根据题意可知，土地的总面积=原居民区面积+新建住房区面积，可发现整个式子是一个完全平方式，可利用因式分解简化计算过程.

所以土地的投资成本为：

答：土地成本投资应是1 500万元.

【点评】由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数的和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式.

例7在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：_______（写出一个即可）.

【分析】按照原理，需把4x3-xy2分解因式，再代入求值，就可以产生密码.