展开与折叠

柏黎平



展开与折叠

柏黎平

立体图形与平面图形在某种情况下可以互相转化，不仅多面体可由平面图形围成，而且立体图形可按不同方式展开成平面图形.

实验能让我们通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验图形的变化过程，进一步了解研究立体图形的方法，为今后进一步学习立体几何奠定坚实的基础.

实验准备：《初中数学实验手册（七上）》，剪刀、卡纸等工具.

实验重点：通过正方体表面的展开与折叠活动积累数学活动的经验，进一步认识立体图形与平面图形的关系.

实验方案：

方案一：正方体的表面展开图.

方案二：立体图形与其表面展开图的对应.

方案三：展开与折叠的应用.

探究活动：

【活动一】把一个正方体的表面沿棱剪开，可以展开成一个平面图形，下面哪些图形可以是正方形的表面展开图？

这些问题比较抽象，只通过思考是很难完成的，我们可以动手操作一下.

活动指导：

1.将正方体的表面展开比较麻烦，我们可以采用反向思考，用折叠的方法加以验证.

2.初中《数学实验手册（七上）》为我们准备了很多的对应图形，我们可以剪下来进行尝试，赶紧去试一下吧.

3.有些图形没有，你可以自己画一张图，用剪刀剪下来，再进行尝试.

活动小结：

1.抽象的问题经过我们的动手操作，问题就变得简单了.

2.数学研究不仅仅是计算与思考，还可以动手实验，这样能增加我们对问题的感性认识，既快又方便，何乐而不为呢？

3.完成这些操作后，对于正方体的表面展开图你是否有什么需要总结的呢，你可以把它写下来.

【活动二】下面几个图形是一些常见几何体的展开图，你能正确说出这些几何体的名称吗？

本题根据我们小学的学习，应该有点经验了，同学们可以先尝试说一说解答本题，然后再结合图形动手验证.

活动指导：

1.《数学实验手册（七上）》也有部分的对应图形，我们可以剪下来进行尝试，赶紧去试一下吧.

2.如果《手册》上没有，你可以自己画一张图，用剪刀剪下来，再进行尝试.

活动小结：

1.这些表面展开图经折叠后可以成为我们熟悉的立体图形，但是立体图形的表面由于展开方式不一样，它的展开图有多种可能哦.

2.这些表面展开图中有些含有长方形，有些含有三角形；而围成的图形中有些是棱柱，有些是棱锥，你是否发现它们之间的对应关系呢？

3.通过本次实验操作，你还有哪些收获呢，你可以把自己的想法写下来哦.

【活动三】如图，一只蚂蚁从封闭的正方体纸盒的表面的D点要到距它最远的B′点，请你设计一条线路，让其爬行路线最短.

我们知道一个基本事实：两点之间，线段是最短的.但本题考虑到蚂蚁只能在表面上爬行，因此寻找直接从D点到B′点的线段路线是行不通的.

活动指导：

考虑到D点和B′点所在的平面不是同一个平面，因此蚂蚁爬行的路线在正方体表面画出来将是一条比较麻烦的曲线或者折线，我们很难研究.是否可以把正方体表面展开，使得D点和B′点在同一个平面上呢？

于是我们可以将正方体的正面和右侧面展开成如下图的图形.

此时D点和B′点就在同一个平面上了，最短路线当然是线段DB′了，然后我们再让右边侧面还原，这样蚂蚁的爬行按D→M→B′的路线就是符合要求的了.

同学们还可以思考，是否还有其他的路线也能符合要求呢？你可以自己继续研究下去，拿起你的正方体的表面展开图继续实验吧.

活动小结：

本题我们通过展开与折叠，将立体图形的问题转化到了平面图形的问题，答案就显而易见了.

活动总结：

多面体可由平面图形围成，而且立体图形可按不同方式展开成平面图形，在需要的时候我们可以通过展开与折叠实现这两种图形的转化，这样就能让我们比较轻松地研究问题.

另外，我们在研究数学问题时，不但可以依靠计算和思考，我们还能通过数学实验帮助我们加深对问题的理解，而且在实验中我们还通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验图形的变化过程，从而进一步了解研究立体图形的方法，为今后进一步学习立体几何打下坚实的基础.

（作者单位：江苏省太仓市双凤中学）