整式乘法和因式分解试题选粹

张丽



整式乘法和因式分解试题选粹

张丽

乘法公式和因式分解是“整式乘法”这一章中重要的内容，是我们解决数学问题的重要工具，对培养创新思维、观察分析能力和解题能力等，都是大有帮助的.现介绍一些典型试题，供大家学习参考.

一、利用公式结构特点解决常见问题

完全平方公式的特点是：左边是两个数的和（或差）的平方，右边为这两个数的平方的和与这两个数的积的2倍的和（或差），可表述为：（甲+乙）2=甲2+2×甲×乙+乙2；（甲-乙）2=甲2-2×甲×乙+乙2.平方差公式的特点是：左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中一项完全相同，一项互为相反数，右边的结果为相同项的平方减去相反数项的平方，可表述为：（甲+乙）（甲-乙）= 甲2-乙2.

例1计算：

（1）（-2x-3y）（-2x+3y）；

（2）（-2x-3y）（2x-3y）；

（3）（-2x-3y）2；

（4）（-2x+3y）2.

【分析】（1）（2）的两个括号中中各有一个完全相同的项和一个相反数的项，符合平方差结构特点；（3）（4）虽符合完全平方公式的特点，但却没有公式简洁清爽，可以利用“互为相反数的两数平方相等”进行恒等变形.

解：（1）原式=（-2x）2-（3y）2=4x2-9y2；

（2）原式=（-3y）2-（2x）2=9y2-4x2；

（3）原式=（2x+3y）2=（2x）2+2×2x×3y+ （3y）2=4x2+12xy+9y2；

（4）方法一：

方法二：

【点拨】此类问题要求我们除注意公式的结构特点外，还要注意式子中符号的处理.

二、适当变式、延展，整合知识、归纳方法

例2（苏科版教材七下第78页例题5第（1）题）

计算：（x-3）（x+3）（x2+9）.

【分析】这是一道计算题，两次运用平方差公式.

变式1 计算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）（x8+1）…（x64+1）.

【分析】本题把上题的“3”变成“1”主要是便于表达计算结果，再增加了几个因式.经观察，发现规律，由（x-1）（x+1）得（x2-1），再由（x2-1）（x2+1）得（x2）2-（1）2，即（x4-1）…根据最后一个因式（x64+1）得结果为（x64）2-12.

变式2 计算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）…（x2n+1）.

【分析】把最后一个因式中x的指数由具体的数字改为字母，由变式1得结果是（x2n）2-12=x4n-1，渗透一般化的思想.

三、逆用乘法公式分解因式

熟练掌握和正确运用乘法公式，可以简捷地进行有关多项式的乘法运算，但有些计算如果直接运用公式，往往事倍功半，若能逆用相关的乘法公式，即运用公式分解因式，却能收到事半功倍的效果.

例3已知a、b、c是△ABC的三边长，试判断（a2+b2-c2）2-4a2b2的符号.

【分析】先逆用积的乘方公式将4a2b2转化成（2ab）2，再逆用平方差公式，最后由三角形中三边之间的关系，得出各个因式的符号，从而判别出这4个因式的积的符号.

∵a、b、c是△ABC的三边长，

∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c<0.

∴（a2+b2-c2）2-4a2b2<0，即它的符号为负号.

四、整体思想在求代数式值中的运用

例4（1）已知x2-3=x，求2x2-2x+9的值；

（2）如果x+y=2，xy=-5，求x2y+xy2，（x2-1）（y2-1），x4+y4的值.

【分析】对于（1），把式子作适当变形后把x2-x看作一个整体，求出x2-x=3，再将其代入代数式很容易得到结果.

对于（2），要求代数式的值，最基本的思路是先求出x、y的值，但求解困难并使问题复杂化.如果我们对代数式先进行化简或变形，然后把x+y与xy看作一个整体，进行整体代入，则问题就会变得非常简单.

解：（1）由x2-3=x，得x2-x=3，

所以2x2-2x+9=2（x2-x）+9=2×3+9=15.

（2）因为x+y=2，xy=-5，

所以x2y+xy2=xy（x+y）=-5×2=-10，

再先求x2+y2=（x+y）2-2xy=4+10=14，

所以（x2-1）（y2-1）=x2y2-（x2+y2）+1= （-5）2-14+1=12，

x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=142-2（-5）2=196-50=146.

【点拨】①在（1）中，由条件入手，用到了局部分解2x2-2x=2（x2-x）；

②在（2）中，关键是将所给式用整体x+ y、xy来表示.

这里用了常见的基本结论：x2+y2=（x+ y）2-2xy=（x-y）2+2xy或其变形等.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）