谈“幂的运算”中的整体思想

丁丽



谈“幂的运算”中的整体思想

丁丽

整体思想就是通过研究问题的整体形式、结构、特征，从而对问题进行整体处理的解题思想.如：整体代入、整体加减、整体代换等.

一、课本例题

七年级下册苏科版数学教材第八章幂的运算，教材第47页例1第4小题.

计算：（m+n）3·（m+n）2.

【分析】同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

公式为am·an=am+n（m、n是正整数）.

本题应用了整体的数学思想，把（m+ n）看成“a”.

公式中的“a”可以表示任何实数，也可以表示单项式或者多项式.

二、例题变形

1.计算：（x-2y）2·（x-2y）m-1.

【分析】和教材中例题相比较，本题中指数含有字母.解法相同，把（x-2y）看成一个整体，利用法则：底数不变，指数相加.

2.计算：（x-2y）2（2y-x）3.

【分析】首先把（x-2y）和（2y-x）都看成整体.同底数幂的乘法前提必须底数相同，如不同应化为相同.题中（x-2y）2可化为（2y-x）2，或者把（2y-x）3化为-（x-2y）3.

题中两种方法所得的结果本质是相同的，因为互为相反数的奇次幂仍互为相反数.但是两种方法相比，我们更倾向于方法一，省去了变号的麻烦.

3.计算：（x-2y）（2y-x）3（x-2y）5.

【分析】题目中有一个（2y-x），两个（x-2y）.我们选择将（2y-x）化为-（x-2y）.

由这几道题目，我们应该能够掌握同底数幂的乘法中底数为多项式的形式的计算了.下面我们来看看其他幂的运算的整体思想的运算.

三、同类问题

1.计算：（a-b）n［（b-a）n］2.

【分析】本题将（a-b）看成整体，先运用幂的乘方计算［（b-a）n］2=（b-a）2n，题目化简为（a-b）n（b-a）2n，通过前面的例题变形可以知道（b-a）2n=（a-b）2n，最后运用同底数幂的运算.

2.计算（a-b）8÷（b-a）3÷（a-b）4.

【分析】本题先将底数化成相同，再运用同底数幂的除法运算，和例题变形中的第三题类似.

方法二：

三、例题延展——整体代入

已知2x-4y-8=0，a=2，求ax÷a2y.

【分析】由2x-4y-8=0，等式两边同时除以2，得：x-2y-4=0，所以x-2y=4，再根据同底数幂的除法运算ax÷a2y=ax-2y，最后代入求值即可.

解：因为2x-4y-8=0，

所以x-2y-4=0，即x-2y=4，

所以ax÷a2y=ax-2y=a4=24=16.

我们从课本上的例题出发，重点谈了公式中整体思想的运用.这只是幂的运算中运算法则整体思想的使用，在以后的学习中大家还会遇到很多需要运用整体思想解决的题目，比如例题延展中的整体代入方法.

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）