单位圆内高阶齐次线性微分方程解与小函数的关系

2016-08-17吴元平陈莉五邑大学数学与计算科学学院广东江门529020

五邑大学学报（自然科学版） 2016年3期

关键词：二阶高阶线性

吴元平，陈莉（五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020）

吴元平，陈莉
（五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020）

高阶齐次线性微分方程；单位圆；小函数；收敛指数

1 引言与问题

2000年，J.Heittokangas[5]首先在其博士论文中系统地研究了单位圆上的微分方程解的增长性，之后国内学者也开始了相关研究[6-9].

2002年，陈宗煊[3]研究了高阶齐次线性微分方程，得到了如下关于解的增长级的结果：

定理A假设 A0（z） ,… ,Ak-1（z ）是Δ内解析函数且满足：1）σ （ Aj）＜ σ（A0）, j= 1,2 … ,k-1；或者2）A0（z）是可允许的， A1（ z） ,… ,Ak-1（z ）是不可允许的，那么：的每个非零解 f具有无穷级.

2008年，曹廷彬和仪洪勋[4]进一步研究了方程（1），得到了如下关于解的超级结果：

定理B假设 A0（z） ,… ,Ak-1（z ）在Δ内解析，如果那么方程（1）的所有解 f（≠ 0）都满足 σ2（f）= σM（A0）≥ σ（A0）.

陈宗煊等[1]首先研究了关于一类二阶微分方程解与小函数的关系，此后关于高阶微分方程解与小函数的关系得到了大量的关注.而单位圆上的高阶微分方程解与小函数关系的研究结果较少，金谨[2]结合定理B，证明了如下结果：

定理C设 A0（z）, A1（z ）,… ,Ak-1（z ）是单位圆Δ内的解析函数，且则方程（1）的不恒为零解析解 f（ z）满足

其中， φ（ z ）是 f（ z）的小函数.

自然地，我们考虑在定理A的条件下，如何得到方程的解与小函数的关系，即：

定理设 A0（z）, A1（ z） ,… ,Ak-1（z ）是单位圆Δ内的解析函数，A0（z）是可允许的，A1（ z），…， Ak-1（z ）是不允许的，且 max ｛Aj（z）, j = 0,1,…,k-1｝=σ＜∞，则方程（1）不恒为零解析解 f（ z）满足

其中， φ（ z ）是 f（ z）的有穷级小函数.

注：令 k= 2，如果 A1= 0，则得到文献[10]的定理1，故本文定理推广了文献[10]的结果.

2 所需引理

引理1[3]723设 f（ z）是单位圆Δ内的亚纯函数，k是自然数，则其中且满足，若 f（ z）是有穷级，则

引理2[2]756设不恒为零的 f（ z）是微分方程（1）的解， g（ z） = f（ z）- φ （z），则

引理3[2]756设不恒为零的 f（ z）是微分方程（1）的解， w（ z） = f ′（z）- φ （z），则

引理4[2]757设不恒为零的 f（ z）是微分方程（1）的解， h（ z） = f ′（z）- φ （z），则

引理5[4]723设 f 是Δ内解析函数 σ （ f ）= σ＜+∞，那么对任意充分大的 ε ＞ 0，当 r ∈ ［ 0,1）且充分接近1时，有

引理6[11]设 f （ z）是单位圆Δ内的亚纯函数，则 σ （f）≤ σ （f）≤ σ （f ）+1.M

3 定理的证明

证明设不恒为零的 f （ z）是微分方程（1）在单位圆Δ内的解析解.由定理A知， σ （ f ）=∞；又由引理6知， σM（f ）=∞.

令g（ z） = f（ z）-φ （z）,w（ z） = f ′ （z）-φ （z）,h（ z） = f ′ （z）-φ （z），则 f（ z） ,f ′（z ） ,f ′ （z ）取小函数φ（z ）的点分别是 g （ z）,w（ z）,h（ z）的零点，且有

因为 A0（z）是单位圆Δ内的可允许的解析函数， A1（ z） ,… ,Ak-1（z ）都是单位圆Δ内的不可允许的解析函数，所以

假定有φ（k）+ Ak-1φ（k-1）+ Ak-2φ（k-2）+…+A1φ ′+A0φ=0，则

同理，由引理3和引理4可得：

因此：

又φ（ z ）是 f（ z）的小函数，因此微分方程（1）的所有不恒为零的解析解 f（ z）都满足

[1]陈宗煊，孙光镐.一类二阶微分方程的解与小函数的关系[J].数学年刊，2006,27A(4):431-442.

[2]金谨.单位圆内高阶齐次线性微分方程解与小函数的关系[J].应用数学学报，2014,37(4):754-764.

[3]陈宗煊.一类单位圆内微分方程解的性质[J].江西师范大学（自然科学版），2002,26(3):272-281.

[4]曹廷彬，仪洪勋.关于单位圆内解析系数的二阶线性微分方程解的复振荡[J].数学年刊，2007,28A(5): 719-732.

[5]HEITTOKANGAS J.On complex differential equations in the unit disc[J].Ann Acad Sci Fenn Math Diss,2000, 122:1-54.

[6]XU Junfeng,ZHANG Zhanliang.Growth order of meromophic solutions of higher-order linear differential equations[J].Kyungook Math J,2008,48:123-132.

[7]CAO Tingbin,CHEN Zongxuan,ZHENG Xiumin,et al.On the iterated order of meromorphic solutions of higher order linear differential equations[J].Ann of Diff Equ,2005,21(2):111-122.

[8]CAO Tingbin,YI Hongxuan.The growth of solutions of linear differential equations with coefficients of iterated order in the unit disc[J].Math Anal Appl,2006,319(1):278-294.

[9]李叶舟.单位圆盘上二阶微分方程解的增长性[J].纯粹数学与应用数学，2002,18(4):295-300.

[10]甘会林，孔荫莹.单位圆内二阶线性微分方程的解及其导数的不动点[J].江西师范大学学报（自然科学版），2008,32(6):671-673.

[11]CHEN Zongxuan.The fixed points and hyper order of solutions of second order complex differential equations [J].Acta Math Sci Ser A Chin Ed,2000,20(3):425-432.

[责任编辑：熊玉涛]

Relationship Between Solutions of the Higher Order Homogeneous Differential Equation and the Small Functions in the Unit Disc

WU Yuan-ping,CHEN Li
(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)