研读教材“二次根式的乘除法”之感触

王勇

“二次根式的乘除法”这节内容是八年级数学下册第16章16.3节，在研究教材和教学这一内容时，对这部分内容的设计及其体现的课程理念深有感触，现将我的体会看法与各位同仁分享。

感触一：“二次根式的乘除法”编写意图和地位

从2011年版义务教育课程标准（初中数学）对“数与代数”这一主线从五个角度去落实：一是要帮助学生搞清楚运算的对象是什么？二是要不断地理解和认识运算的背景，为什么要做加、减、乘、除？三是运算法则。四是学会这么多的运算，到底有什么用？在哪儿发挥作用？五是在运算中既有精准的运算，也有进似的运算。从教材参考书看，二次根式这章的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑关系，体会运算在代数中的基础地位。做好：1.一以贯之地进行代数基本思想和方法的教学；2.以运算为核心，加强运算能力的培养。从教材看，二次根式的乘除法是在掌握、理解算术平方根的基础上并利用二次根式的性质进行计算和化简，同时也是学生学习二次根式加减法的基础，也是学生后续学习必备的基础。重点是二次根式乘除法则的探究和运用。二次根式的乘除涵盖了初中阶段的所有运算，学会了二次根式的运算，也就基本掌握了所有的运算。二次根式的运算更进一步的体现数学发展从“数”到“式”的过程，也让学生不断地形成完整的知识体系。所以，二次根式这一章在初中数学中地位和作用尤其重要。

感触二：二次根式乘除运算的引入

从运算的角度提出了二次根式也是一个实数，这类实数将满足怎样的运算法则，该如何进行四则运算的研究任务。引入内容看似没什么？但其中蕴含太多的哲理，是学生数学思维的开启，也是抛砖引玉，是学生思考接下来要思考什么？解决什么问题的导向。所以，教师要做好引入的导学。

感触三：二次根式乘除法法则探究

问题探究是引导学生从特殊到一般归纳二次根式的乘除法则。从条件“计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律”看，学生应从三个维度去进行探究：一是计算，凭学生已有的数学知识进行；二是观察，要从算式的结构、运算方法、运算结果、形式变化等方面观察；三是发现规律，是在观察的基础上，总结归纳得出一般的结论。从编者设置的问题看，学生是很容易从这些特例中发现，即培养了学生动手、动脑的能力，也让学生体会法则的生成过程，并且对法则的理解更有深意。

感触四：二次根式乘除法则的应用

二次根式乘除法则是 学生用已有的知识基础和经验是完全能运用法则进行计算——只需要将被开方数相乘（除）即可。但法则反过来运用更多的是对计算结果的化简，这是学生思维的难点，也是学生逆向思维培养的着力点，也是本节内容的教学核心。比如：计算，学生很容易按照法则计算得出，从而利用二次根式的性质又可以将二次根式进行化简。特别是对这类二次根式的化简，还要考虑“分数（式）”的性质——分子分母同时乘以一个不为零的数（式），所以在二次根式的乘除运算中，要让学生体验“先算后化，先化后算”，怎样做才会使计算较简便，从而让学生全面掌握、理解二次根式的乘除运算。如计算，学生就可以先算再化更容易做。

感触五：最简二次根式

二次根式学生先从“形”上认识——含有二次根号，再从“质”上理解——被开方数为非负数，如，但学生又可以利用二次根式的乘除法则进行化简，由此引出最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。这二者必须同时满足，这样的二次根式才是最简二次根式，但从给出的两个条件中不难看出，学生理解有难度：（1）不含分母；（2）不含开得尽方的因数或因式。从这两个条件中告知学生什么样的二次根式是最简二次根式，同时也告知了化二次根式为最简二次根式的方法：（1）把被开方数中含有的分母化“掉”，不含分母；（2）把被开方数中开得尽方的因数或因式开方出来。这又回到了二次根式的运算本质上来。同时要提醒学生是“因数或因式”，不要错将这样的被开方数开方出来：这里的x2，y2不是被开方数的因数或因式。

感触六：二次根式的计算结果

教材中有这样一句话：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。这句话揭示了数学运算的“规矩”——所有计算结果都力求最简。同时，既要使结果是最简二次根式也要使分母不含二次根式，这又是要将分母中的二次根式化“掉”。化二次根式为最简二次根式方法已有了，要将分母含有二次根式的二次根式化“掉”的方法又是学生需要类比掌握的。化含有二次根式的分母的方法实际就是运用“分式”的性质——分子分母同时乘以一个适当的二次根式，使其分母所含的二次根式形成2”的形式，利用二次根式的性质即可将分母中所含的二次根式化“掉”。从而实现有关二次根式的计算结果是最简二次根式并且分母不含二次根式。

总之，这一节内容是本章的核心和重点，二次根式的乘除法掌握好了，接下来学习二次根式的加减法就很容易了。但不管是关于什么样的“式”的计算，学生始终要把握一个原则——一定符号二计算，这样就不会出现=（-2）×（-3）=6这样的错误。对于运算学生总会出现这样或那样的问题，就其原因是学生对法则的生成和运用理解不够导致的，在教学中，教师要积极的让学生参与探究，与同学分享探究成果，真正吃透法则的“精髓”，能更好地运用法则解决数学问题。