非正截面曲率空间中F-双调和子流形的若干结果

潘 虹, 李 静, 张倩玉

(1. 信阳师范学院 数学与信息科学学院, 河南 信阳 464000; 2. 南京理工大学 理学院, 江苏 南京 210094)

0 引言

的临界映射,其中d,δ分别为外微分算子和余外微分算子.当k=2时,得到双调和映射,它是双能量泛函的临界映射.随后,JIANG[8]介绍了E2的第一、第二变分公式,双调和映射也有许多成果[6,8-9].HAN和FENG[10]提出了F-双调和映射的概念,研究了F-双能量泛函：

若u:(Mm,g)→(Nn,h)为F-双调和等距浸入,则称M为N的F-双调和子流形.

在双调和理论中,CHEN猜想是重要的研究课题:

猜想1[11]En中的任意双调和子流形是极小的.

猜想1有许多部分已得到肯定回答.自此,广义CHEN猜想应运而生.如:猜想1随后被推广为:具有非正截面曲率黎曼流形中的任意双调和子流形是极小的[12].也有许多对此猜想的部分肯定回答.

(a) 具有非正截面曲率黎曼流形中的任意紧致双调和子流形是极小的[8].

(b) 具有非正截面曲率黎曼流形中的任意紧致F-双调和子流形是极小的[10].

MAETA S[13]提出了下列猜想:

猜想2[13]具有非正截面曲率黎曼流形中的任意完备双调和子流形是极小的.

猜想2也有许多部分得到肯定回答[13，14].

HAN[15]提出了下列猜想:

猜想3 具有非正截面曲率黎曼流形中的任意完备p-双调和子流形是极小的.

猜想3已有许多部分得到肯定回答[15，16].

(b) 具有非正曲率空间形式中的弱凸p-双调和子流形是极小的[16].

对于本文研究的F-双调和子流形,很自然地提出下列猜想:

猜想4 具有非正截面曲率黎曼流形中的F-双调和子流形是极小的.

我们得到了定理1-4,这些结果是对猜想4的部分肯定回答.

1 预备知识

这一部分,主要介绍调和映射、双调和映射、F-双调和映射及F-双调和子流形的概念.

E(u)的Euler-Lagrange方程为

1983年,EELLS J和LEMAIRE L[7]介绍了双能量泛函:

1986年,JIANG[8]研究了双能量泛函E2的第一、第二变分公式.E2的Euler-Lagrange方程为

HAN和FENG[10]提出F-双能量泛函:

其中F:[0,)→[0,)是满足F′>0的C2-函数.它的Euler-Lagrange方程为

若τF,2(u)=0,则称u是F-双调和映射.

接下来介绍F-双调和子流形.设u:(Mm,g)→(Nm+p,h=〈·,·〉)是m-维黎曼流形(Mm,g)和(m+p)-维黎曼流形(Nm+p,h)之间的等距浸入.任意点x∈M,〈·,·〉也表示诱导度量u-1h.

第二基本形式B:TM⊗TM→NM定义为:

B(X,Y)=NXY-XY,

其中X,Y∈Γ(TM),NM表示M的法向量丛.

其中X∈Γ(TM),ξ∈Γ(T⊥M),⊥表示M的法联络.

第二基本形式B和形状算子Aξ满足关系式:

〈B(X,Y),ξ〉=〈AξX,Y〉.

任意点x∈M,设{e1,e2,…,em,em+1,…,em+p}为N的一组局部正交标架场,且{e1,e2,…,em}为TxM的正交标架场，则第二基本形式B在x点可分解为:

由方程(2)得:

(4)

2 结果及证明

定理1 设u:(M,g)→(N,h)是由完备黎曼流形(M,g)到具有非正截面曲率黎曼流形(N,h)的F-双调和等距浸入,p,q是满足2≤p<,0

那么u是极小的.

证明由式(3)可得:

其中不等式成立是由于(N,h)具有非正截面曲率.

接下来，证明下列式子:

由式(5)和式(6)可得:

取固定点x0∈M,∀r>0,取M上的截断函数λ(x)如下:

其中Br(x0)={x∈M:d(x,x0)

其中a是正数,它的取值范围将在后面给出.另一方面,可得:

由式(9)和式(10)可得:

(11)

则有

(12)

由Young’s不等式可得:

(13)

其中s∈(0,a+2),C(a,s)是依赖于a,s的常数.由式(12)和式(13)可得:

(14)

定理2 设u:(M,g)→(N,h)是由完备黎曼流形(M,g)到具有非正截面曲率黎曼流形(N,h)的F-双调和等距浸入.如果

对于一些整数s>0,C0与r无关,p≥2,那么u是极小的.

证明由式(11)可得:

(16)

由Young’s不等式可得:

(17)

其中C(a)是依赖于a的常数.由式(16)和式(17)可得:

(18)

其中令a足够大,r→.证毕.

证明由方程(3)可得:

由式(19)可得:

(20)

其中a是非负常数,λ由式(8)给出.另一方面,可得:

由式(20)和式(21)可得:

定义1 设M是N中具有度量〈·,·〉的子流形,则称M为ε-超F-双调和子流形,如果

(ε-1)|

其中ε∈[0,1].

定理4 设u:(M,g)→(N,h)是(N,h)中的完备ε-超F-双调和子流形,ε>0,如果

(23)

那么u是极小的,其中p≥2.

证明由式(22)可得:

其中λ由式(8)给出,a≥0.由此可得:

由Young’s不等式可得:

则可得:

设点x∈M且使得选取TxM的一组标准正交基以及(TxM)⊥的一组标准正交基则有:

由式(26)可得:

3 结论

讨论了非正截面曲率空间中的F-双调和子流形,提出猜想:具有非正截面曲率黎曼流形中的F-双调和子流形是极小的.利用分部积分和积分估计方法证明了当它满足定理1-定理4中的条件时,它是极小的.