通性通法在高等数学课堂教学中的有效生成

邱云兰，白伟华，邢喜莲，苏 勇

（韶关学院 韶州师范分院数学系， 广东 韶关 512009）



通性通法在高等数学课堂教学中的有效生成

邱云兰，白伟华，邢喜莲，苏 勇

（韶关学院 韶州师范分院数学系， 广东 韶关 512009）

摘要：高等数学课堂教学要根据教学对象、教学内容和教学环境，选择适当的教学方法和学习方法，变学生的被动接受为主动学习.课堂教学是多元共生，充满互动变化的空间，课堂的变化性和不确定性决定了生成的丰富性.因此要用变化的、动态的、生成的观点来看待课堂教学.课堂教学要凸显新课程倡导的生本观、课程观、教学观，凸显通性通法，通性通法体现本原的数学思想.

关键词：高数教学；通性通法；教学研究；有效生成

新课程凸显教学的生成性资源是由其倡导的生本观、课程观、教学观所决定的.生成性资源是在教学过程中动态生成的，师生相互交流及生生交流过程中产生的新情境、新问题、新思路、新方法、新结果等［1］.合理地利用生成资源有利于提高教学质量.要提高文科高等数学课堂教学的有效生成，必须考虑学生的知识基础、教材、教法和学法等.学生是具有主观能动性的人，他们带着不同的家庭环境、人生经历、经验和情感参与高等数学课堂，课堂不能只顾自己滔滔不绝而忽视学生主体地位的发挥和感受，不能满足于一种模式或固定不变的程序作重复劳动，更不能单纯用教材上的方法传授给学生，因为当今的教材出现了不少的问题，教学内容不严谨、不衔接等问题.不能用繁琐、错误的知识传受的学生，而是要选择学生易接受的方法，易找到解决问题的方法传受给学生.

1 高等数学教学中的问题

学生仍然看不懂，不知道是怎样计算出来的，为此，需要从课堂学习向课外学习延伸和拓展，拓展范围和领域，把有关其他数列的前n项和公式写出来，从求和过程的中间步骤详细的写出来，一步一步地进行提高通性通法的层次.通性通法是体现本原的数学思想，具有原创性［4］.从高等数学例习题可以看到，有的题目虽然入口较宽，不限于一种方法，又如，求极限为自然数，编著大多首先考虑的解题方法是通性通法，即用中值定理求解.当然也可以用积分不等式求解. 所谓“通性通法”是指利用数学概念所反映的基本性质和蕴含的基本思想方法来解决数学问题，通性通法，不仅能经常回顾和复习基本知识和基本方法，而且能不断地将学生的思维引向数学的基本概念和基本思想，能使学生养成良好的思考问题的习惯. 著名数学史家M·克莱因说，“数学学科并不是一系列技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面；著名的音乐家傅聪说：“技巧有时是音乐的敌人”，“巧解”有其局限性，适应的范围一般都比较狭窄，在一定条件下才能产生，往往掩盖了数学基本思想方法的渗透［5］.

2 从“抽象”到 “形象”的转化，是体现数和形的有效生成

“数”和“形”是数学研究的两类对象，也是数学发展的两大支柱.抽象的描述需要得到直观化、具体化的阐释；逻辑的结论需要跟随直觉的发现；静态的生成需要辅以动态的演示［6］；师生的互动需要伴佐审美情趣和文化气息，教师根据学生的知识基础、学习习惯和诸多方面的特点，对教材的抽象内容转化为直观形象的图形.例如，计算和等，如果不凭借直观形象，学生还会觉得枯燥无味. 枯燥无味学生就会失去学习兴趣. 教学中教师要善于将学生从抽象化引到图形化，即先引导学生用定积分的几何意义计算，再从图形化又引到抽象化，体现本原的数形结合的思想.“本原”是本体论中的一个术语，指一切事物的最初根源或构成世界的最根本实体［7］. 哲学上对“本原”的思考凸显为刨根问题的探索精神，始终把理解世界的“始基”或“构成要素”作为第一问题. 这里并非从哲学角度来探索，而是借用哲学中对“本原”的理解和思考的方式，从学科教学的角度来探索促进学生深刻理解学科内容及其本质的“本原性问题”.凸显通性通法的目的是加深对数学概念、公式、法则的理解，巩固所学知识的技能、培养数学能力、提高数学素养.“提高解题能力”是每一个学生学习数学努力追求的目标，但是，不同的解题理念会带来不同的解题效果.

斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以转化为一个图形，那么思维就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”在教学不定积分的换元积分法时，导入例1.

（2）当x＞0时，

如果把被积函数刻画成几何图形，通过用数形结合的方法来解决这个问题. 这一提问制造了学生的认知冲突，使课堂出现了观点的交锋、智慧的碰撞，使课堂的热闹不仅仅是停留于学生肢体的活动，更体现在学生思维的活动之中. 于是，通过构建直角三角形，用1、x表示直角三角形的直角边和斜边，t表示直角三角形的锐角，通过观察、分析由“抽象”到“ 形象”的转化，体现本原的思想.

抽象的数量关系和直观的空间图形是数学研究的对象，数形结合是一种数学特点的信息转换. 其实质是将抽象的代数形式与直观的几何图形结合起来，从本质上认识问题、解决问题［8］. 事实证明通过用几何图形，分析被积函数，比用倒代换还要简便，简得合理，巧得自然.

在高等数学教学中，既要充分挖掘几何直观，实现由几何直观发现概念，又要理解性应用概念，再到探索概念的严密性，并在此基础上提高抽象逻辑思维能力和动手操作能力.教师要善于制造认知冲突，把学生推到自主探索知识的前台，使学生亲身经历“做数学”的过程，从而激发学生思考，激活数学思维［9］.

3 从“错误”到“感悟”的转化，进行以错相教

习题是数学知识的载体，是数学思想方法的生长点. 在课堂教学中及时发现问题、发现郭运瑞主编的，西南交通大学出版的公共基础课系列“十二五”精品规划教材《高等数学》有些问题，以下简称教材，如，第四章第130页，习题5（6）答案错误，现以此题为例.

解法2

教材包括习题及答案要严谨，尽量避免以错相教，否则教材就会充满不确定性.课本的答案错误.错误是一面镜子，不但能充分暴露教材的严谨性、科学性、示范性、权威性和影响性.而且也能暴露师生的思维过程［10］；同时错误也是课堂教学的重要资源.这个资源来之不易，谁能找到这个资源，即课本答案的原题？这个提问，引发了学生的广泛关注，知识观体现在教材观的一种较量，学生预想不到此题是正常的. 课本答案的题目求有理函数的积分

题型千变万化，见多识广才行. 树立新的教学观和学习观，善于用批判的、创造性的眼光研究问题、发现问题、提出问题、分析问题、解决问题. 例如，教材P119页例29，求，有的学生发现不了此题的解错在哪里？设则但通过引导，即从“错误”到

“感悟”，构建了一个新的平台，引伸拓展和发现了新问题，发现从而解决了新问题类似这些问题的解决要善于潜心研究，在问题在悟，在问题中探，在问题中明，不能盲目相信崇拜类似的所谓“十二五”精品规划教材. 要善于以错为戒，克服错误、指出错误和纠正错误［11］.

4 结论

课堂是教学的主阵地，更是课改和有效教学质量的核心. 构建有效生成的课堂，应该是每个教师不断追求的目标. 课堂教学是多元共存，充满互动变化的空间，教材的变化性和严谨性决定了生成的丰富性.教师应在研究学情、环境、教材、教法、学法，把握教材要求的基础上，用变化的、动态的、有效生成的观点来看待数学课堂，预测数学课堂，预测教材、环境、学生可能生成的情况. 摆脱时间与空间的限制，缩短师生间的距离，和学生形成共同进步的学习共同体. 对丰富师生的生活智慧与促进彼此精神生命的共同成长具有深远的意义.课堂以内在关联为前提，以互动开放为基础，以有效生成为根本. 突出双重研究，即通性通法和技巧解法的研究. 使学生能真正掌握知识，获取知识的本领，获得优秀的认知成绩、良好的认知结果、积极的数学学习情感、浓厚的理性思维，较强的教学效率意识和较强的数学学习能力的行为. 从而，有效促进文科高等数学教学质量的提升.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）年版［S］. 北京：北京师范大学出版社出版，2012：71.

［2］ 邱云兰，曾峥.高职高等数学课堂教学中的互动解题研究［J］.数学教育学报，2013，22（3）：39-43.

［3］ 施巍.促进初中数学课堂教学有效生成的几种途径［J］.数学通报，2013，（5）：34-37.

［4］ 陆正涛.从教到考，再谈通性通法的教学［J］.数学通报，2013，（4）：49-51.

［5］ 王艺平，王敬华.让解题思想来得更自然一些［J］.数学通报，2013，（2）：43-46.

［6］ 王钦敏.如何对数学教材进行有益的拓展与改造［J］.数学通报，2013（1）：45-48.

［7］ 李静，王秀兰.本原性问题驱动下的高等数学变式教学［J］.数学教育学报，2013，22（6）：94-97.

［8］ 王国栋.学生为什么不善于利用几何意义解题［J］. 数学通报，2006，45（1）：28-30.

［9］ 岳宝霞，冯虹.眼动分析法在数学应用题解题研究中的应用［J］. 数学教育学报，2013，22（1）：93-96.

［10］ 韩裕娜.对高中实验教材中一些问题的商榷［J］. 数学通报，2006（1）：25-26.

［11］ 邱云兰.对高等数学“十二五”精品规划教材中一些问题的商榷［J］.曲阜师范大学学报：自然科学版，2014，40（3）：123-128.

［12］ 程晓亮，刘影.高等数学教学策略再思考［J］. 数学教育学报，2012，21（2）：78-80.

（责任编辑：邵晓军）

中图分类号：G642.1

文献标识码：A

文章编号：1007-5348（2016）02-0076-04

［收稿日期］2015-12-27

［作者简介］邱云兰（1956-），男，广东乐昌人，韶关学院韶州师范分院数学系教授；研究方向：数学教育.

Recitation Teaching Mode of Higher Mathematics in Vocational Colleges

QIU Yun-lan，BAI Wei-hua， XING Xi-lian， SU Yong

（Department of Mathematics Shaozhou Normal College， Shaoguan University，Shaoguan 512009， Guangdong，China）

Abstract:Higher mathematics recitation teaching should be based on the teaching objects， teaching contents and teaching environment to choose its own teaching methods and way of studying. It should encourage the students to learn actively. The teaching methods should be various and interactive space. The variations and uncertainties decides the riches of the teaching production.It should adopt a flexible， dynamic and productive teaching approach. Teaching should be student-oriented， course-oriented， teaching-oriented which is a package approach which reflects the very essence of mathematics learning.

Key words:higher mathematics； exercise teaching； thinking ability； interactive inquiry