高维强非线性隔振系统谐波及分岔分析

何其伟, 俞　翔, 毛为民

(1 海军工程大学 科研部,武汉　430033； 2 浙江凯灵船厂,浙江 舟山　316000)

高维强非线性隔振系统谐波及分岔分析

何其伟1, 俞翔1, 毛为民2

(1 海军工程大学 科研部,武汉430033； 2 浙江凯灵船厂,浙江 舟山316000)

从次谐波级联角度，利用谐波平衡法与跟踪延拓算法得到了高维强非线性隔振系统各级次谐波的幅频特性曲线，分析了次谐波的稳定性，研究了两条分岔道路，得到了典型的倍周期分岔值，以此估计了混沌参数区域，与数值计算结果吻合较好。

非线性；次谐波；分岔；混沌

非线性系统中存在三种有界定常运动：周期运动、准周期运动与混沌运动，这三种形式的运动均有可能出现在强非线性隔振系统中，而周期运动是最普遍、在参数空间中占据最大区域的一种运动形式，深入研究强非线性隔振系统的周期运动对于了解其动力学特性并进行非线性控制研究具有重要的意义[1-3]。周期运动中，次谐波扮演着非常活跃的角色，新次谐波的出现往往意味着系统周期的改变，即分岔的发生，这也是次谐波分析相对而言更为重要的原因[4-5]。李天岩等[6]的著名文章“周期3意味着混沌”更深刻揭示了次谐波在从有序到混沌的演化过程中所起的重要作用。

分析强非线性隔振系统的谐波特性及其分岔行为，不仅可利用其丰富的动力学特性，为设计具有高静态刚度、低动态刚度特性的新型强非线性隔振器提供理论依据[7]，还可利用次谐波级联预测出的混沌参数区域来对非线性隔振系统实施混沌反控制，从而改变系统振动的线谱结构，提高水下航行器的隐声性能[8]。

本文首先介绍了次谐波级联的有关思想，建立高维非线性隔振系统动力学方程，随后应用谐波平衡法对各次谐波的幅频特性与稳定性进行分析，对T→…→2nT→Chaos以及倍周期分岔序列进行了研究，通过分析次谐波级联、次谐共振、倍周期分岔、鞍结分岔等建立起高维强非线性隔振系统各次谐波的整体图像。本文采用的方法为跟踪延拓算法，可以利用了符号计算软件强大的符号计算功能得到较高截断阶数的谐波平衡解表达式，而免去了繁琐的推导过程。

1次谐波级联

非线性系统中次谐波的存在形式与系统非线性形式有关，Lukomsky与Gandzha在文献[9]中对如下的振动方程：

(1)

存在的次谐波形式进行了详细讨论，并给出了图1。图1中同心圆的中心点S1表示零级的次谐波，周期为T，其中T为激励力周期，即零级次谐波包括基谐波响应与超谐波响应。零级次谐波通过周期2、3、5等质数倍增产生第一个圆周上的第1级次谐波，以Sm示，它们是最基本的次谐波成分，其周期为mT，其中m为质数(m=2,3,5,7,…)。第1级次谐波也可再一次产生周期质数倍增，从而产生第2个同心圆周上的第2级次谐波Sm×n，其中n也为质数(n=2,3,5,7,…)。与此类似，可以得到l级次谐波成分，其周期为NlT，Nl为l个质数的乘积。这样，非线性系统中所有可能的次谐波成分，均可以通过图1得出其可能产生的路径，这样的路径并不唯一，例如周期为6T的次谐波S6既可以通过S1→S2→S6的过程得到，也可以通过S1→S3→S6得到。对于特定的非线性系统来说，并非图中所示的所有次谐波成分均会出现，也并非通向某个次谐波的每条路径都会在该非线性系统中实现，这些都与系统非线性项的具体表达形式有关。

本文将采用上述有关次谐波级联的思想，按照第0、1、2级的顺序来求解强非线性隔振系统中可能存在的次谐波成分，并对倍周期分岔进入混沌的典型道路S1→S2→S4→…→S2j→Chaos进行分析。

图1　次谐波级联示意图[9]Fig.1 Cascades of subharmonic states [7]

2谐波分析

2.1动力学方程

考虑竖直方向振动的双层隔振系统，且系统只受简谐激励。因文献[10]对该系统的运动方程进行了推导，本文不再详细推导。消除重力项并无量纲化后，其运动方程可以写为：

(2)

式中:f为激励力幅值，ω为激励频率。

2.2谐波平衡法

在下文中，用j表示次谐波级数，本文仅考虑S1→S2→S4→…→S2j→Chaos这条倍周期分岔道路，因此对于式(2)，它的谐波可以写成如下截断傅里叶级数形式：

bi,2-jnsin(2-jnωt))i=1,2;j=0,1,2,…

(3)

bi,2-jncos(2-jnωt))

bi,2-jnsin(2-jnωt))

i=1,2;j=0,1,2,…

(4)

(5)

其中：

(6)

式中x1(t)由式(3)表示。将式(3)、(4)代入式(2)第二式，令各阶谐波系数等于零。由于式(2)的第二式为线性系统，因而x2(t)的各谐波系数均可以由x1(t)相同阶谐波系数线性表示，这也是为何消除重力项而将刚度耦合变换为惯性耦合的原因，这样可以得到：

c2,0=0,a2,1=Q1a1,1+P1b1,1-Q1f/ω2,

b2,1=-P1a1,1+Q1b1,1+P1f/ω2,

a2,2-jn=Q2-jna1,2-jn+P2-jnb1,2-jn,

b2,2-jn=-P2-jna1,2-jn+Q2-jnb1,2-jn,

(7)

其中：

(8)

将式(3)～(8)代入式(2)第一式，令各阶谐波系数等于零，可以得到一非线性代数方程组，通过求解该方程组可以得到式(3)中x1(t)各谐波的傅里叶系数。当然，要解析求解该非线性方程组相当困难，可以采用定常解的跟踪延拓算法求得，有关跟踪延拓算法详见文献[11-12]。求得各谐波傅里叶系数后，可以求得各谐波的幅值：

图2　谐波平衡法与数值计算得到的系统相图Fig.2 Phase diagrams obtained by using harmonic balance method and numerical simulations

2.3稳定性分析

次谐波失稳将会产生下一级的次谐波，因而通过分析次谐波的稳定性，可以得到下一级次谐波产生的边界，以及新产生的次谐波形式。通过分析变分方程(Hill方程)的解来可判断定常解的稳定性以及失稳的方式，该方法是基于Floquet理论进行的，对于弱非线性系统可以转化为求解Mathieu方程的稳定边界问题，但是对于强非线性系统，该方法失效，只有直接对Hill方程解的形式及稳定边界进行分析。

通过上述方法得到式(3)中各傅里叶系数后，便求得定常解xi0。要分析定常解稳定性，需要对其进行扰动，即在式(3)上叠加一个小的扰动量：

xi=xi0+ui,(i=1,2)

(9)

将式(9)代入式(2)，并考虑xi0满足方程(2)这一事实，将得到的关于ui的方程线性化，可以得到：

(10)

式(10)第二式为线性微分方程，确定的是u2与u1幅值与相位之间的比例关系，而决定系统稳定性的为第一式。将式(3)代入(10)，这样便得到了Hill方程：

(11)

ρ=-arctan(b1,1/a1,1)

这样对周期解(3)的稳定性分析转化为了Hill方程解的稳定性分析。Hill方程属于周期系数的参数激励系统，对于该系统的分析可知，系统不稳定区域边界与η0有关，根据不同的η0值，在不稳定区域可能存在两种不同形式的解。

(12)

(13)

式(12)、(13)中i=1,2。在边界上有ζ=0。式(12)的周期为2T，其中T为式(2)激励力周期，因此可以认为当系统以式(12)方式失稳时，系统将发生倍周期分岔，通过求解系统以式(12)方式失稳的边界就可以得到倍周期分岔的分岔值。以(13)方式失稳时，系统将发生鞍结分岔，通常这种情况与折叠点的存在相伴。对于更高层级次谐波和更高截断阶数，可以利用maple等符号计算软件进行计算。

3分岔分析

前面的分析可以得到，按照式(13)方式失稳时，发生鞍结分岔，而以(12)方式失稳时，系统在ω/2次谐共振区域会进一步发生倍周期分岔，从而产生2T、4T、8T…，直至最后产生混沌运动。

3.1B1分岔过程

图3　倍周期分岔序列中各级次谐波的幅频特性曲线Fig.3 Amplitude-frequency curves of the subharmonics in the cascades of period-doubling bifurcations

3.2B2分岔过程

数值计算得到系统分岔图如图4所示。对比图3可以看出，由谐波平衡法得到的各分岔值与数值计算吻合得很好，混沌区域右边界值也与数值计算得到的混沌区域右边界值4.467吻合较好，但是左边界值却与数值计算相差较大，其原因有可能是由于混沌吸引子的边界激变(chaotic boundary crisis)[14]引起的。随着ω的减小，混沌吸引子在相空间中不断膨胀，最终与稳定的周期1吸引子的吸引域边界碰撞，因而混沌吸引子连同其吸引域突然消失，这样使得混沌运动的左边界提前出现，混沌参数区域减小。

图4　分岔图Fig.4 Bifurcation diagram

4结论

本文将谐波平衡法与跟踪延拓算法相结合，深入研究了强非线性隔振系统的谐波响应及其稳定性，并对典型的倍周期分岔道路进行了细致分析，得到了如下结论：

(1) 强非线性隔振系统中存在着多级次谐波，上一级次谐波失稳将导致下级次谐波的产生。谐波失稳方式有两种，分别对应着倍周期分岔与鞍结分岔；

(2) 可以通过分析系统变分方程的稳定性，从而得到倍周期分岔点与鞍结分岔点，并且可以将稳定倍周期分岔点的聚点作为混沌区域的边界，谐波平衡法得到的结果与数值计算结果吻合较好；而非稳定倍周期分岔点的聚点并不能作为混沌区域的另一个边界，这与Kapitaniak的结论并不完全一致。

上述分析对于理解非线性隔振系统周期运动状态的各种特性以及经过倍周期分岔进入混沌的过程有重要意义。

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Subharmonic and bifurcation analysis for a high-dimensional strongly nonlinear vibration isolation system

HE Qi-wei1, YU Xiang1, MAO Wei-min2

(1. Office of Research and Development, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;2. Zhejiang Kailin Ship Factory, Zhoushan 316000, China)

Cascades of subharmonic waves and their stability for a high-dimensional strongly nonlinear vibration isolation system were studied by combining the harmonic balance method and the predictor-corrector method. The amplitude-frequency curve of every subharmonic wave was plotted. Two routes of bifurcation were analyzed and the boundaries of the period-doubling bifurcations were obtained through the stability analysis, and then the parametric regions of chaos were estimated. The results agreed well with those obtained with numerical simulations.

nonlinear; subharmonic; bifurcation; chaos

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.010

国家自然科学基金(51009143)

2014-11-27修改稿收到日期：2015-04-30

何其伟 男，博士, 副教授，1972年生

俞翔 男，博士，高工, 1978年生

E-mail：yuxiang898@sina.com

O322；O328；U664

A