正方形顺排排列四圆柱流致振动响应研究

及春宁， 陈威霖， 徐万海

(1.天津大学 水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津　300072; 2.四川大学 水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，成都　610065)

正方形顺排排列四圆柱流致振动响应研究

及春宁1,2， 陈威霖1， 徐万海1

(1.天津大学 水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津300072; 2.四川大学 水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，成都610065)

对间距比s/D=5.0正方形顺排排列四圆柱流致振动进行了数值模拟研究，圆柱仅横流向振动，雷诺数为Re=100，折合流速为Ur=2.0～50.0。研究发现，上游两圆柱的响应与单圆柱涡激振动相似，呈现出明显的初始分支和下端分支。上游两圆柱的振幅均在折合流速Ur=4.4时达到最大值Ymax/D=0.56，与单圆柱涡激振动最大振幅Ymax/D=0.57相近。下游两圆柱的振幅在折合流速Ur=7.9时达到最大值Ymax/D=0.997，比单圆柱涡激振动最大振幅增大了74.8%。正方形顺排排列四圆柱流致振动响应中出现了三个不对称区间，分别为第一不对称区间4.510.5。圆柱不对称的振动响应特性和圆柱间隙流稳定偏斜有关。

流致振动；正方形排列；圆柱；振动响应

前人对单圆柱涡激振动的研究已经取得了诸多成果[1-4]。相比之下，对圆柱群流致振动的研究则要少很多，但也取得了一些重要的结论。

在正方形排列四圆柱绕流方面，Sayers[5-6]的风洞实验研究发现：当圆柱间距比s/D≥4.0时，每个圆柱的St数都等于单圆柱的情况。Zou等[7]对雷诺数Re=200、间距比s/D=1.2～5.0的菱形排列四圆柱绕流研究发现：随着间距比的增加，流动模式依次为单一钝体模式、窄间隙流模式和旋涡碰撞模式。Esfahani等[8]应用LBM(Lattice Boltzmann Method)方法研究了正方形排列四圆柱绕流，雷诺数Re=100，间距比s/D=1.5～4.5。研究发现：存在3种不同的流动模式，分别为稳定屏蔽流、摆动屏蔽流和旋涡脱落模式。Lam等[9]实验研究了间距比s/D=1.28～5.96的正方形排列四圆柱绕流，发现：当s/D≤1.54时，下游两圆柱后尾流出现双稳态模式，其中一个圆柱后的尾流为窄尾流，另一个圆柱后的尾流为宽尾流；而当4.47

在正方形排列四圆柱流致振动方面，相关研究非常少，取得的成果也非常有限。Zhao等[17]运用RANS方法，对雷诺数Re=103～2×104、来流攻角α=0°～45°的正方形排列四圆柱流致振动(两向自由度)进行了数值模拟研究，其中间距比为s/D=3.0，质量比为m*=2.0，阻尼系数ξ=0.001。研究发现：当α=15°时，锁定区域的范围最宽，对应折合流速范围为Ur=3～12；当α=45°时，锁定区域的范围最窄，对应折合流速范围为Ur=2～4；当α=30°时，在Ur=5～9范围内发生锁定；当α=0°时，锁定范围为Ur=3～9。锁定区域以外，振动通常是不规律的，锁定区域以外的主导频率随着折合流速的增加而增加。徐枫等[18]对雷诺数Re=200、间距比s/D=2.5～6.0的正方形排列四圆柱流致振动进行了数值模拟，研究发现：上游圆柱的横向振幅较大，最大横向振幅达到了0.82D，远大于相同参数条件下单圆柱涡激振动的最大振幅，流向振幅的最大值也达到了0.66D；下游圆柱的最大横向和流向振幅可达到0.75D；圆柱绕流研究中所出现的对称或者反对称的尾涡模式消失，取而代之的是更加复杂的尾涡模式；当间距比s/D=2.5～6.0时，旋涡从上游圆柱脱落，尾涡模式不规则。

从已有的研究成果看，正方形排列四圆柱流致振动的复杂性高，此方面的研究成果较少，有必要对其振动响应展开精细化研究。

1数值方法

1.1控制方程

流固耦合数值模拟采用浸入边界法[19]，控制方程如下：

(1)

·u=0

(2)

式中：u为速度，t为时间，p为压强，ν为运动黏滞系数，为梯度算子，f为附加体积力矢量，代表流固耦合边界条件。

对以上控制方程采用二阶精度的Adams-Bashforth时间格式进行离散，可得控制方程的守恒形式如下：

(3)

·un+1=0

(4)

(5)

式中：I和D为插值函数，Vn+1为物面边界速度，上标n+1，n+1/2，n，n-1为时间步。

针对传统浸入边界法施加边界条件精度不高的情况，及春宁等[19]提出了基于嵌入式迭代的浸入边界法，将浸入边界法嵌入到压强泊松方程的迭代求解中，利用压强的中间解比初始值更接近真实值的特点，迭代修正附加体积力，在不显著增加计算耗时的前提下，提高整个算法的求解精度。有关嵌入式迭代浸入边界法的细节，请参考文献[19]，此处不再赘述。

对仅做横流向运动的刚性圆柱体，其运动方程可以用下述方程来描述：

(6)

式中：m为圆柱体质量，c为结构阻尼，k为弹簧刚度系数，Fy为圆柱受到的横流向流体力。方程采用标准Newmark-β法求解。

1.2问题描述

计算域边界条件设置如下。入口边界为Dirichlet型边界条件(u=1,v=0)；出口边界为Neumann型边界条件(∂u/∂x=0,∂v/∂x=0)；上下边界为自由滑移边界条件(∂u/∂y=0,v=0)。

为了满足Courant-Friedrichs-Lewy条件，即CFL=UΔt/Δx≤0.5，时间步长取为Δt=0.006。

图1　计算域与边界条件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

2程序验证

通过单圆柱绕流算例(Re=100)验证本文数值模拟方法的正确性。将数值计算得到的圆柱阻力系数CD、升力系数CL和斯托劳哈尔数St与已有文献结果进行对比，如表1所示。可见，本文数值模拟结果与已有数值模拟[20-23]和实验[24]结果吻合较好，验证了本文数值方法的正确性。需要说明的是，本文采用的模型和程序已在文献[25-26]中针对多种算例(如单圆柱绕流/涡激振动、串列双圆柱绕流/流致振动等)进行了充分验证，读者可自行查阅。

3结果和讨论

3.1正方形顺排排列四圆柱振动响应

如图2所示，与单圆柱涡激振动响应相似，上游两圆柱(圆柱1和2)的振动响应呈现为初始分支和下端分支，且最大振幅(Ymax/D=0.56)和锁定区间(4.4

表1　Re=100的单圆柱绕流的阻力系数CD、升力系数CL以及斯托劳哈尔数St与已有结果的比较

下游两圆柱(圆柱3和4)的振动响应更为复杂，难以辨认出分支结构，但总的来说表现为双峰结构。第一个振幅峰值较小(Ymax/D=0.57)，出现在Ur=4.0附近，第二个峰值较大(Ymax/D=0.997)，在Ur=7.9附近取得，该值要比单圆柱涡激振动的最大值(Ymax/D=0.56)大了74.8%，如图2所示。与上游圆柱振幅以及单圆柱涡激振动振幅相比，当折合流速Ur≤3.5时，下游圆柱的振幅明显较大，这说明：当Ur≤3.5时上游圆柱的存在对下游圆柱振动起到促进作用。随折合流速的增大，下游圆柱振幅在Ur=4.1附近达到第一个峰值，随后出现小幅下降。当4.1

图2　响应振幅随折合流速变化情况Fig.2 Variation of the vibration amplitude with the reduced velocity

整体而言，下游圆柱振幅表现为先增后减的趋势，并没有体现出紊流条件下串列双圆柱的尾流驰振的特点，即：随着折合流速的增加，下游圆柱振幅单调增大。这主要是由于：与紊流条件下的尾流驰振相比，层流条件下上游圆柱尾涡强度较低，对下游圆柱扰动不足，下游圆柱缺乏大幅振动的动力。此外，层流较大的黏滞性导致振动耗散的能量较多，也促使下游圆柱振幅随折合流速逐渐降低。

与以往的研究结果[18]不同，本文结果中出现了上游两圆柱和下游两圆柱振幅不相等的情况，出现在三个折合流速范围内，分别称为振幅第一不对称区间4.5

根据文献[27]的结论，圆柱振幅不对称情况的出现与圆柱后尾流的不对称性有关。图3分别给出了Ur=4.4(对称振动)和Ur=5.0(非对称振动)的尾涡图。两种工况相比，圆柱振幅相差不大。由图3(a)可知，当Ur=4.4时，圆柱尾流关于圆柱的中心线对称，下游圆柱后方形成两列平行涡街，并一直延伸很远。然而，对于Ur=5.0的工况，尾流关于圆柱中心线不对称，下游圆柱间的间隙流稳定地偏斜向一个圆柱(圆柱4)，在一个圆柱(圆柱3)后面形成较宽的尾流，而另一个(圆柱4)则形成较窄的尾流。宽尾流表现为平行涡街，而窄尾流则表现为交替涡街。仔细观察上游圆柱的尾流，发现：两尾流也并非对称，圆柱2的脱涡时机要早于圆柱1的。在此影响之下，圆柱3的脱涡也要早于圆柱4的。在下游圆柱的尾流中，由于圆柱3脱涡时，圆柱4的漩涡仍未脱落，因此从圆柱3上脱落的漩涡侧向发展受到圆柱4的干扰较小，所形成的涡街基本关于圆柱振动平衡位置对称，与单圆柱涡激振动的相似。而从圆柱4上脱落的漩涡由于受到从圆柱3上已经脱落漩涡的压迫，所形成的涡街更偏向圆柱4的外侧，故而在下游圆柱之间形成了稳定偏斜的间隙流。

图3　折合流速Ur=4.4和Ur=5.0工况的尾涡模式Fig.3 The wake patterns for the cases with the reduced velocity of Ur=4.4 and Ur=5.0

图4　升力系数均方根值随折合流速变化情况Fig.4 Variation of the r.m.s value of the lift coefficient with the reduced velocity

图4给出了圆柱受到的升力均方根值随折合流速的变化。不难看出，上游两圆柱受到的升力均方根值与单圆柱涡激振动的情况相似，最大值CL,rns=1.201略小于单圆柱的情况CL,rns=1.306。然而，下游圆柱的升力均方根值却表现出截然不同的趋势。当折合流速较小时，下游圆柱受到的升力均方根值随着折合流速逐渐增大，并在Ur=3.5处达到最大值CL,rns=1.236。在此区间内(Ur<3.5)，下游圆柱的升力均方根值远大于上游圆柱的。随着折合流速的增大，下游圆柱的升力均方根值快速降低，而上游圆柱的快速增大。在3.8

图5给出了圆柱受到的阻力均值随折合流速的变化。上游圆柱的阻力均值的变化趋势与单圆柱涡激振动的大体一致，但数值上较小，尤其在振幅较大的锁定区间内。下游圆柱由于受到上游圆柱的遮蔽作用，除了在6.9

图5　阻力均值随折合流速变化情况Fig.5 Variation of the mean drag coefficient with the reduced velocity

图6给出了圆柱振动平衡位置偏离初始位置的偏移量随折合流速变化的情况。总体来说，随着折合流速的增大，偏移量也逐渐增大，这与本文通过减小弹簧系数来增大折合流速有关。需要说明的是，圆柱2和3向上偏移为正，而圆柱1和4向下偏移为正。在振幅的三个不对称区间内，偏移量也出现了不对称的情况，最大的偏移量差值约为0.1D，出现在Ur=7.2附近。

图6　平衡位置偏移量随折合流速变化情况Fig.6 The shift of the balanced positions varying with the reduced velocity

3.2与串列双圆柱流致振动响应对比

将正方形顺排排列四圆柱流致振动(取圆柱2和3)与相同条件下串列双圆柱流致振动响应(间距比s/D=5.0)进行对比，分析两者的不同，如图7所示。

当折合流速Ur≤3.5时，串列上游圆柱和圆柱2的响应均较小；与串列上游圆柱相比，圆柱2的振幅不论是大小还是增长速率都要稍大。当折合流速Ur>3.5以后，圆柱2和串列上游圆柱的振幅急剧增加，串列上游圆柱在折合流速Ur=4.4时取得最大振幅Ymax/D=0.529，稍大于圆柱2的最大振幅Ymax/D=0.575(在折合流速Ur=4.7时取得)，这是由于临近圆柱(圆柱1)对于圆柱2在一定程度上起到了固壁的作用，降低了圆柱2的振幅。在折合流速Ur≥4.7以后，上游圆柱的响应与圆柱2非常接近。总体来说，圆柱2与串列上游圆柱的振动响应基本相同。

当折合流速Ur≤3.5时，圆柱3的振幅明显大于串列下游圆柱的振幅。圆柱3在Ur=3.9处取得第一峰值Ymax/D=0.377，略大于串列下游圆柱在Ur=3.9处取得第一峰值Ymax/D=0.345。然而，圆柱3的第二峰值Ymax/D=0.977却小于串列下游圆柱的第二峰值Ymax/D=1.015。当折合流速Ur=10.5时，圆柱3的振动响应进入了第三不对称区间，相比于折合流速Ur=10.3，振幅发生了跳跃。与之相比，串列下游圆柱的振幅则表现得较为光滑，没有出现跳跃。总体来说，与串列下游圆柱相比，圆柱3的振动响应趋势相似，但振幅曲线整体向低折合流速偏移。

综上可知，正方形顺排排列的圆柱2和3的流致振动响应与同条件下串列双圆柱流致振动响应基本相等，临近圆柱(圆柱4)对于圆柱3的影响要强于临近圆柱(圆柱1)对于圆柱2的影响。

图7　与串列双圆柱流致振动响应对比Fig.7 Comparison with the vibration amplitude of two tandem circular cylinders

3.3与并列双圆柱流致振动响应对比

将正方形顺排排列四圆柱的圆柱1和2与相同条件下并列双圆柱流致振动响应(间距比s/D=5.0)进行对比，分析两者的不同，如图8所示。

图8　与并列双圆柱流致振动响应对比Fig.8 Comparison with the vibration amplitude of two side-by-side circular cylinders

当折合流速Ur≤3.4时，圆柱1和2的振幅略小于并列双圆柱的振幅。之后，随着折合流速的增加，圆柱1和2以及并列双圆柱的响应振幅急剧增加，并列双圆柱在折合流速Ur=4.0时取得最大振幅Ymax/D=0.56，而圆柱1和2的响应振幅则在折合流速Ur=4.7时取得最大值。此时，四圆柱流致振动正处在第一不对称区域内，因此两圆柱的振幅不同，圆柱1的最大振幅为Ymax/D=0.566，圆柱2的最大振幅为Ymax/D=0.575，比并列双圆柱的振幅分别增大了1%和3%。在此以后，圆柱1和2的振幅一直大于并列双圆柱的振幅。

整体来看，圆柱1和2的振幅略大于并列双圆柱的振幅。与并列双圆柱相比，圆柱1和2振动响应的锁定区间向高折合流速偏移，且锁定区间的宽度略有增加。此外，间距比s/D=5.0时，并列双圆柱流致振动中并未出现振幅不对称现象，这与正方形顺排排列四圆柱流致振动的情况不同，与下游圆柱(圆柱3和4)的影响有关。

4结论

对雷诺数Re=100间距比s/D=5.0正方形顺排排列四圆柱流致振动进行了精细化的数值模拟研究，其中折合流速为Ur=2.0～50.0，圆柱质量比为m*=2.0。对四圆柱流致振动响应展开了深入的分析，并与串列和并列双圆柱流致振动进行了对比。将主要结论归纳如下：

(1) 上游两圆柱的响应与单圆柱涡激振动相似，呈现出明显的初始分支和下端分支。其中上游两圆柱的响应振幅均在折合流速Ur=4.4时达到最大值Ymax/D=0.56，与单圆柱涡激振动最大值Ymax/D=0.57(Ur=4.21)相接近；而下游两圆柱在折合流速Ur=7.9时达到最大值Ymax/D=0.997，比单圆柱涡激振动最大振幅增大了74.8%。

(2) 正方形排列四圆柱流致振动中响应出现了三个不对称区间，分别为第一不对称区间(Ur=4.5～5.9)、第二不对称区间(Ur=6.9～7.2)和第三不对称区间(Ur≥10.5)。

(3) 在不对称区间内，振幅、升力、阻力以及平衡位置偏移量均出现了不对称的情况，这是由尾流的不对称性以及间隙流的稳定偏斜造成。

(4) 与串列双圆柱流致振动相比，当折合流速Ur≥4.7以后，圆柱2的振动响应与串列上游圆柱的响应相近；圆柱3和下游圆柱的响应随折合流速的变化趋势相同。但是由于临近圆柱(圆柱4)的存在，圆柱3的响应振幅出现跳跃，且整体向低折合流速偏移。与并列双圆柱流致振动相比，由于受到下游两圆柱的影响，圆柱1和2的振动响应与并列双圆柱有较明显不同，锁定区间向更高的折合流速偏移，且宽度略有增加，并出现了振幅不对称情况。

本文在圆柱群流致振动的研究中发现了对称布置的圆柱群的振动响应不对称的现象。在不对称振动区间内，尽管圆柱的振幅相差不大，但圆柱受到的升、阻力系数和振动平衡位置偏移量有较明显的差别。比如，当Ur>10.3时，圆柱3和圆柱4受到的升力均方根值分别约为0.4和0.6，相差了约40%(与两者的均值相比)。并且，这种差别在很广的折合流速范围内存在。这就使得考虑圆柱群流致振动响应时并不能简单地认为各圆柱响应相等。该结论对于实际工程(如海洋立管束的受力计算和防碰撞设计)具有一定的参考价值。

[ 1 ] Sarpkaya T. A critical review of the intrinsic nature of vortex-induced vibrations [J]. Journal of Fluids and Structures, 2004, 19: 389-447.

[ 2 ] Bearman P W. Vortex shedding from oscillating bluff bodies [J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1984, 16: 195-222.

[ 3 ] Williamson C H K, Govardhan R. Vortex-induced vibrations [J]. Annual Review of Fluid Mechanics,2004,36:413-455.

[ 4 ] Williamson C H K, Govardhan R. A brief review of recent results in vortex-induced vibrations [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics,2008,96:713-735.

[ 5 ] Sayers A T. Vortex shedding from groups of three and four equispaced cylinders situated in a cross flow [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1990, 34: 213-221.

[ 6 ] Sayers A T. Flow interference between four equispaced cylinders when subjected to a cross flow [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1988, 31: 9-28.

[ 7 ] Zou L, Lin Y F, Lu H. Flow patterns and force characteristics of laminar flow past four cylinders in diamond arrangement [J]. Journal of Hydrodynamics, 2011, 23(1): 55-64.

[ 8 ] Esfahani J A, Vasel-Be-Hagh A R. A lattice Boltzmann simulation of cross-flow around four cylinders in a square arrangement [C]//Proceedings of the ASME 2010 10th Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis,Istanbul,Turkey,2010.

[ 9 ] Lam K, Lo S C. A visualization study of cross-flow around four cylinders in a square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 1992(6): 109-131.

[10] Lam K, Li J Y, So R M C. Force coefficients and Strouhal numbers of four cylinders in cross flow [J]. Journal of Fluids and Structures, 2003, 18: 305-324.

[11] Wang X K, Gong K, Liu H, et al. Flow around four cylinders arranged in a square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2013, 43: 179-199.

[12] Lam K, Zou L. Experimental study and large eddy simulation for the turbulent flow around four cylinders in an in-line square configuration [J]. International Journal of Heat and Fluid Flow, 2009, 30: 276-285.

[13] Farrant T F, Tan M, Price W G. A cell boundary element method applied to laminar vortex-shedding from arrays of cylinders in various arrangements [J]. Journal of Fluids and Structures, 2000, 14: 375-402.

[14] Esfahani J A, Vasel-Be-Hagh A R. A numerical study on shear layer behaviour in flow over a square unit of four cylinders at Reynolds number of 200 using the LB method [J]. Progress in Computational Fluid Dynamics, 2013, 13: 103-119.

[15] Lam K, Gong W Q, So R M C. Numerical simulation of cross-flow around four cylinders in an in-line square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2008, 24: 34-57.

[16] Lam K, Zou L. Three-dimensional numerical simulations of cross-flow around four cylinders in an in-line square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2010, 26: 482-502.

[17] Zhao M, Cheng L. Numerical simulation of vortex-induced vibration of four circular cylinders in a square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2012, 31: 125-140.

[18] 徐枫，欧进萍，肖仪清. 正方形顺排排列下四圆柱涡激振动数值模拟 [C]//第十四届全国结构风工程学术会议论文集, 2009.

[19] 及春宁，刘爽，杨立红,等. 基于嵌入式迭代的高精度浸入边界法[J]. 天津大学学报, 2014, 47(5): 377-382.

JI Chun-ning, LIU Shuang, YANG Li-hong, et al. An accurate immersed boundary method based on built-in iterations[J]. Journal of Tianjin University, 2014, 47(5): 377-382.

[20] Zhou C Y, Sorm C, Lam K. Vortex induced vibrations of an elastic circular cylinder [J]. Journal of Fluids and Structures, 1999, 13: 165-189.

[21] Stansby P K, Slaouti A. Simulation of vortex shedding including blockage by the random-vortex and the other methods [J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1993, 17: 1003-1013.

[22] Park J, Kwon K, Choi H. Numerical solutions of flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 160 [J]. KSME International Journal, 1998, 12(6): 1200-1205.

[23] Li Y, Zhang R, Shock R, et al. Prediction of vortex shedding from a circular cylinder using a volumetric Lattice-Boltzmann boundary approach [J]. The European Physical Journal Special Topics, 2009, 171: 91-97.

[24] Williamson C H K. Oblique and parallel modes of vortex shedding in the wake of a circular cylinder at low Reynolds numbers [J]. Journal of Fluid Mechanics,1989,206:579-627.

[25] 及春宁，陈威霖，黄继露,等. 串列双圆柱流致振动的数值模拟及其耦合机制[J]. 力学学报，2014,46(6): 862-870.

JI Chun-ning, CHEN Wei-lin, HUANG Ji-lu, et al. Numerical investigation on flow-induced vibration of two cylinders in tandem arrangements and its coupling mechanisms[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2014, 46(6): 862-870.

[26] 陈威霖，及春宁，徐万海. 并列双圆柱流致振动的不对称振动和对称性迟滞研究[J]. 力学学报，2015，47(5)：731-739.

CHEN Wei-lin, JI Chun-ning, XU Wan-hai. Numerical investigation on the asymmetric vibration and symmetry hysteresis of flow-induced vibration of two side-by-side cylinders[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2015，47(5)：731-739.

[27] Chen Wei-lin, Ji Chun-ning, Xu Wan-hai, et al. Response and wake patterns of two side-by-side elastically supported circular cylinders in uniform laminar cross-flow [J]. Journal of Fluids and Structure, 2015, 55: 218-236.

Flow-induced vibrations of four square-arranged circular cylinders

JI Chun-ning1,2, CHEN Wei-lin1, XU Wan-hai1

(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Flow-induced vibrations of four square-arranged circular cylinders with a center-to-center spacing ratio ofs/D=5.0 and zero attack angle were numerically investigated. The vibrations were constrained in cross-flow direction, the reduced flow-velocity was in the range ofUr=2.0～50.0 and Reynolds number was Re=100. Results showed that the responses of two upstream cylinders are similar to those of VIV of an isolated cylinder, the initial and lower branches are clearly observed; the upstream two cylinders reach their maximum vibration amplitude ofYmax/D=0.56 at the reduced flow-velocityUr=4.4, it is close to that of an isolated cylinderYmax/D=0.57; the two downstream cylinders reach their maximum amplitudeYmax/D=0.997 at the reduced flow-velocityUr=7.9, it is 74.8% larger than that of an isolated cylinder; three asymmetric vibration regions are observed, i.e., the first asymmetric vibration region is 4.510.5; the asymmetric vibration features of the cylinders are closely related to asymmetric wake patterns and stably biased gap flows.

flow-induced vibration; square arrangement; circular cylinder; vibration response

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.009

国家自然科学基金创新研究群体科学基金(51321065);国家自然科学基金(51579175;51479135);天津市青年科学基金(12JCQNJC02600);水力学与山区河流开发保护国家重点实验室开放基金(SKHL1303)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-06-18

及春宁 男，博士，副教授，1978年生

E-mail：cnji@tju.edu.cn

P751； TB531

A