磁场中导电旋转圆板的磁弹性非线性共振

胡宇达， 王　彤

(燕山大学 河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北 秦皇岛　066004)

磁场中导电旋转圆板的磁弹性非线性共振

胡宇达， 王彤

(燕山大学 河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北 秦皇岛066004)

研究旋转运动圆形薄板在磁场中受到机械载荷作用时的磁弹性非线性共振问题。根据哈密顿原理推导出旋转运动圆板在磁场中的磁弹性非线性振动方程，基于电磁理论给出了旋转板所受电磁力的表达式;通过位移函数的设定并应用伽辽金积分法，得到横向磁场中旋转导电圆板的磁弹性轴对称振动微分方程。应用平均法对系统非线性主共振问题进行求解，得到稳态运动下的幅频响应方程。通过数值计算，得到固支边界条件下圆板的幅频特性曲线以及振幅随磁感应强度、转速、激励力等参数的变化规律曲线图，分析了不同参数对旋转板共振幅值及非线性特性的影响。

导电圆板；旋转运动；主共振；磁场；平均法

在现代工程实际中，旋转运动和电磁结构广泛存在于航空航天、机械、土木等领域中的高端设备及运动结构中。处于电磁场环境中的磁弹性构件，因受到电磁场和机械场等因素的作用，往往会产生较为明显的振动，并影响着系统的正常运行。因此，对电磁场中旋转运动结构的磁弹性振动问题进行研究具有理论和实际意义。近年来，国内外学者针对圆板及磁弹性板的振动做了许多有意义的理论研究工作。文献[1-3]分别用微分变换法、切比雪夫里茨法和渐进法对圆板的非线性振动进行了研究与计算。文献[4]分析了导电板的电磁热机械行为，采取用于涡流分析的T方法得到了导电圆板的解析解。文献[5-7]研究了导电薄板在磁场中的组合共振和谐波共振等问题，建立了轴向运动导电板的磁热弹性耦合动力学理论模型。文献[8]研究了电磁场环境下导电圆板的磁弹性强迫振动问题。文献[9-11]研究了旋转运动板的非线性振动，得到了不同条件下固有频率的计算式。文献[12]用半解析法分析了功能梯度圆薄板的非线性自由振动与强迫振动。文献[13]运用有限元方法分析了旋转夹层板的非轴对称振动与稳定问题，讨论了不同参数对振动的影响。文献[14]针对含有黏弹性夹芯层旋转圆板在气动载荷作用下的行波动力学及稳定性问题进行了研究。文献[15]建立了高速旋转柔性矩形薄板的耦合动力学模型，并应用模态截断法进行了求解。

本文研究旋转运动圆板在磁场中的非线性共振问题，得到磁弹性非线性振动方程和幅频特性方程，给出共振幅值随不同参数变化规律曲线图，分析磁场、转速、激励力等参数的影响。

1旋转运动圆板磁弹性振动方程

1.1动能与变形能

对于处于磁场中做旋转运动的圆形薄板，设薄板内任意一点的位移矢量在柱坐标系三个方向的分量为：

ur1(r,θ,z,t)=ur(r,θ,t)+zu1(r,θ,t)

(1)

uθ1(r,θ,z,t)=uθ(r,θ,t)+zv1(r,θ,t)

(2)

uz(r,θ,z,t)=w(r,θ,t)

(3)

在式(1),式(2),式(3)基础上，通过求导运算，得到旋转运动薄板的速度分量表达式：

(4)

式中：Ω为旋转速度。进而得到旋转运动圆板动能的表达式为：

(5)

旋转运动薄板由弯曲变形引起的形变势能Uε1表达式为：

(6)

同时，旋转运动薄板的中面应变势能为；

(7)

式中：Mr、Mθ为弯矩，Mrθ为扭矩，κr、κθ为曲率，κrθ为扭率，Nr、Nθ、Nrθ为中面内力，εr、εθ、εrθ为中面应变。

1.2外力所作功

假设旋转运动薄板的横向位移w发生了位移边界条件所容许的微小变化量，即虚位移δw，则外加横向强迫力Pz在虚位移上所作的虚功可以表示为：

(8)

同样，电磁力Fr,Fθ,Fz与电磁力矩mr，mθ在虚位移上所作虚功为如下形式：

δUF=

(9)

1.3哈密顿原理建立振动方程

根据哈密顿原理有：

(10)

式中：t0和t1为两个固定时刻。

将式(5)、式(6)、式(7)、式(8)及式(9)代入式(10)中，并考虑几何非线性情况及轴对称振动问题，经过变分运算，推得旋转运动圆形薄板的磁弹性轴对称振动方程：

(11)

(12)

2电磁力表达式

在磁场中做旋转运动的薄板将受到Lorenz力的作用，薄板单位体积内电磁力表达式为：

f(fr,fθ,fz)=J×B0=fri+fθj+fzk

(13)

式中：J=σ0(e+V×B0)，e为电场强度矢量，V为板内各点速度矢量，σ0为电导率。

对式(13)沿板厚方向进行积分，可得到式(11),式(12)中薄板轴对称振动时所受电磁力和力矩的表达式：

(14)

(15)

(16)

3横向磁场中旋转板的轴对称主共振

针对在恒定横向磁场(即B0r=0、B0θ=0)环境中做匀速旋转运动的圆形薄板，考虑其轴对称振动情况。将相应弯矩内力、中面内力和电磁力表达式代入振动方程中，并忽略纵向位移对薄板横向振动的影响(即ur=0)。由于在横向磁场中Fz=0，得出旋转运动薄板在横向磁场中关于挠度w的磁弹性振动方程：

(17)

周边夹支圆板的边界条件为：

周边简支圆板的边界条件为：

r=R时，w=0，Mr=0

设满足边界条件的关于式(17)的动位移解为：

w(r,t)=W(r)T0(t)=

(18)

将式(18)代入式(17)，应用伽辽金积分法推得系统的非线性强迫振动微分方程：

(19)

式中：“撇号”表示对时间t的一阶和二阶导数(下同)；

(20)

应用平均法对方程式(20)进行解析求解，并将系统的解及其导数分别取为：

q=acos(ωt-θ)

(21)

q′=-aωsin(ωt-θ)

(22)

这里，a和θ为关于时间t的慢变函数。

由式(21)，式(22)可得：

a′cosψ+aθ′sinψ=0

(23)

将式(21)，式(22)代入式(20)中，经过运算得到：

(24)

联立式(23)，式(24)，考虑a和θ的慢变规律，应用平均法得到系统的平均化方程：

(25)

(26)

由式(25)，式(26)可得稳态运动下主共振的幅频响应方程：

(27)

4算例分析

对于横向磁场中法向周期动载作用的铝制薄板，给定物理参数：密度ρ=2 670 kg/m3，电导率σ0=3.63×107(Ω·m)-1，泊松系数μ=0.34，弹性模量E=71 GPa。

图1、图2分别给出了不同旋转速度和不同板厚条件下旋转板的幅频响应特性曲线图。图中曲线表明，在共振区域(εσ≈0附近)振幅明显增大且出现解的多值性；同时由两图可看出，不同转速或不同厚度所对应的曲线之间存在多个相交点，表明随着转速或板厚的增大，共振幅值既有随之增大的区域，也有随之减小的区域，非线性特征非常明显。图3、图4分别给出了不同磁感应强度和激励力幅值条件下的幅频响应特性曲线图。图中曲线也呈现了共振区域幅值明显增大和解的多值性，同时表明，随磁感应强度的增大和激励力的减小，共振曲线呈现明显内缩趋势。

图1　速度变化时幅频特性曲线图Fig.1 The charactertic curve of amplitude-frequency with different velocity(B0z=3 T,R=0.8 m,h=0.015 m,q0=60 N/m2)

图2　板厚变化时幅频特性曲线图Fig.2 The charactertic curve of amplitude-frequency with different thickness(q0=60 N/m2,B0z=1 T,R=0.3 m,Ω=1 200 r/min)

图5、图6分别给出了不同调谐参数和不同激励力条件下振幅随磁感应强度的变化曲线图。图中曲线均呈现相对磁感应强度B0z=0处的左右对称形式，且在B0z=0附近共振被激发，幅值较大并有多值性。当磁感应强度增大到一定值时，振幅明显减小，多值性也会消失。同时，由图5可知，随着调谐参数值εσ的不断增大，共振区域幅值呈现从单值过渡到三个值，并且共振曲线逐渐对称内缩并最终分离出上部的封闭曲线的

变化规律，其中εσ=0.03和εσ=0.037为对应两个临界状态下的临界值。图6中曲线也具有随激励力减小，曲线呈现对称内缩且共振幅值减小的变化规律。

图3　磁场变化时幅频特性曲线图Fig.3 The charactertic curve of amplitude-frequency with different magnetic induction intensity(q0=60 N/m2,Ω=1 200 r/min,R=0.3 m,h=0.004 m)

图4　激励力变化时幅频特性曲线图Fig.4 The charactertic curve of amplitude-frequency with different exitation force(B0z=1 T,R=0.3 m,Ω=1 200 r/min,h=0.004 m)

图7、图8分别给出了不同磁感应强度和不同转速条件下振幅随激励力幅值的变化曲线图。图中曲线表明，较小的激励力幅值即可激发系统的主共振现象，并且首先会出现多值解，之后激励力增大到一定值后，解退化为较大的单值。同时，由图7可见，在单值区域内，磁感应强度越大，共振振幅越小。由图8可知，随转速的增大，在力幅小的单值区域内，共振振幅呈增大变化趋势，而在力幅大的单值区域内，共振振幅呈减小变化趋势。

图5　调谐参数变化时振幅-磁感应强度特性曲线图Fig.5 The charactertic curve of amplitude-magnetic induction intensity with different tuning parameters(q0=60 N/m2,R=0.3 m,Ω=1 200 r/min,h=0.004 m)

图6 激励力变化时振幅-磁感应强度特性曲线图Fig.6Thecharacterticcurveofamplitude-magneticinductionintensitywithdifferentexitationforce(εσ=0.03,R=0.3m,Ω=1200r/min,h=0.004m)图7 磁感应强度变化时振幅-激励力特性曲线图Fig.7Thecharacterticcurveofamplitude-exitationforcewithdifferentmagneticinductionintensity(εσ=0.02,R=0.3m,Ω=1200r/min,h=0.004m)图8 速度变化时振幅-激励力特性曲线图Fig.8Thecharacterticcurveofamplitude-exitationforcewithdifferentvelocity(εσ=0.4,R=0.8m,B0z=3T,h=0.015m)

5结论

本文针对磁场中旋转运动圆形板，推导出了其磁弹性振动方程，得到了圆板的幅频响应方程。通过数值算例，对夹支边界条件圆板的共振问题进行了分析，结果表明：

(1)共振区域振幅明显增大并有多值性，板的旋转速度、厚度大小等参数对共振曲线均有显著影响。

(2)共振振幅随激励力力幅的增大呈增大趋势，而激励力频率的改变直接影响着解的形态。

(3)磁感应强度增大到一定数值时共振振幅明显下降，即可通过调整外加磁感应强度的大小控制系统的振动。

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Nonlinear resonance of a conductive rotating circular plate in the magnetic field

HU Yu-da， WANG Tong

(Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China)

The nonlinear resonance of a conductive rotating thin circular plate subjected to mechanical loads in a magnetic field was investigated. The nonlinear vibration equation, related to the spinning round plate, was derived according to the Hamilton principle. Based on electromagnetic theory, the expressions of electromagnetic forces were derived. According to the set of a displacement function, the magnetoelastic forced vibration differential equation of the round plate was obtained through the application of the Galerkin integral method. By means of an averaging method, the amplitude-frequency response equation in a steady state was established. The amplitude frequency characteristic curves and the relationship curves of an amplitude that changes with the magnetic induction intensity, the speed of rotation and the excitation force of the plate with a fixed boundary condition were obtained according to the numerical calculation. The influence of different parameters on the amplitude and nonlinear characteristics of the spinning plate was analyzed finally.

conductive round plate; rotary motion; primary resonance; magnetic field; averaging method

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.028

国家自然科学基金(11472239)；河北省自然科学基金(A2015203023)；河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD20131055)

2014-05-20修改稿收到日期：2015-01-08

胡宇达 男，博士，教授，1968年11月生

O322;O442

A