如何结合函数图像解决“路程问题”

2016-08-03吴国平

初中生学习·高 2016年5期

吴国平

函数及其性质是初中数学重点内容，也是中考重点考查内容之一.

中考对函数知识的考查主要是运用函数知识来解决实际生活问题.函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研究、解决有关问题.函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题.

例1：“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图像，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（）.

A. 2小时 B. 2.2小时 C. 2.25小时 D. 2.4小时

考点：函数的图像.

解析：设AB段的函数解析式是y=kx+b，

y=kx+b的图像过A（1.5，90），B（2.5，170），

1.5k+b=90，2.5k+b=170，解得k=80，b=-30.

∴AB段函数的解析式是y=80x-30.

离目的地还有20千米时，即y=170-20=150千米，

当y=150时，80x-30=150， x=2.25小时.

故选：C.

解题反思：本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值.

例2：小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家.如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）函数关系.根据图像，下列信息错误的是（）.

A. 小明看报用时8分钟

B. 公共阅报栏距小明家200米

C. 小明离家最远的距离为400米

D. 小明从出发到回家共用时16分钟

考点：函数的图像.

解析：A. 看报用时8-4=4分钟，A项错误；B. 公共阅报栏距小明家200米，B项正确；C. 由图可知，12分钟时小明离家最远，小明离家最远的距离为400米，C项正确；D. 由图可知小明从出发到回家共用时16分钟，D项正确.

故选：A.

解题反思：本题考查利用函数的图像解决实际问题的能力，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应答案.

例3：甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123. 其中正确的是（）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

考点：一次函数的应用.

解析：易得乙出发时，两人相距8米，除以时间2秒即为甲的速度；由于出现两人距离为0米的情况，那么乙的速度较快.乙100秒跑完总路程500米可得乙的速度，进而求得100秒时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0米时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100秒即为c的值.

解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；

乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；

b=5×100-4×（100+2）=92（米）；

5a-4×（a+2）=0，

解得a=8，

c=100+92÷4=123（秒），

∴正确的有①②③.

故选：A.

解题反思：得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键.

例4：早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家.15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（米）与小刚打完电话后的步行时间t（分）之间的函数关系如图，下列四种说法：

①打电话时，小刚和妈妈的距离为1 250米；

②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；

③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；

④小刚家与学校的距离为2 550米.其中正确的个数是（）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

考点：函数的图像.

解析：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1 250米是正确的；

②因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过5+15+3=23分钟小刚到达学校，所以②是正确的；

③打完电话后5分钟两人相遇前，妈妈的速度是1 250÷5-100=150米/分，走的路程为150×5=750米，妈妈回家的速度是750÷15=50米/分，所以妈妈回家的速度为150米/分是错误的；