例谈变式思想在试题命制中的应用

张顺华

高考数学试题绝大多数是新题（新情境、新材料、新形式），但考查的知识却都能从数学教材中找到。尽管全国的数学教师都在猜题，考生也都在做题，但猜（做）中的概率微乎其微，其中的缘由就是命题者采用了一定的变式，所以，我们看到的高考试题似曾相识但又从未做过。由此可见，变式法命制试题是非常重要的命题方法。接下来，我们将从变式的形式、作用以及试题的科学性谈谈变式思想在试题命制中的应用。

1 变式的形式和作用

所谓变式就是在原有试题的基础上推陈出新，是指将已有的一些现成的“好”题经适当改造编制形成新的试题。变式的一般方法有：①改变条件；②改变题型；③改变设问；④改变背景。

（-）改变条件

例1：（理）已知四面体ABCD的顶点都在球O球面上，AD=AC=BD=2， ，∠BDC=90°，平面ADC 平面BDC，则球O的体积为 ________.

变式：（文）已知四面体ABCD的顶点都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC 平面BDC，AD=AC=BD，∠DAC=90°，若四面体ABCD的体积为 ，则球O的体积为 ________.

例1与变式是两个同结论的题目，但条件的形式有差别。例1给出了边的具体长度，但需要学生能判断球心O在BC上；变式没直接给出各边的长度，不过已知球心O在BC上，利用四面体ABCD体积为 计算球半径，相对于例1在思维上的要求就降低了。因考查学生不同，通过变式，一题两用.

（二）改变题型

例2：（文）设 ，则

数列 的前2015项的和S2015=（ ）

A.0 B. 2014 C.2015 D.2016

变式：（理）设 ，则

数列 的前2015项的和S2015=_________________

改变题型是最简单的变式形式，就因为那个窄窄的横线，原有的25%的正确概率不一定存在了，有可能从选项中得到的思考方向也没了，什么特值法、排除法都发挥不了作用了，似乎有种世界变了的感觉。不过也正因为那个窄窄的横线，可以无限伸缩，选项从4个变成了100个、1000个，给了考生无限的想象空间，在将它栓住的那一刻，考生的思维已经成功的放飞并且又安全的着陆，思维上得到更有力的训练。

（三）改变设问

例3：（文）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=BC=2，AC BC，点S是侧棱AA1延长线上一点，EF是平面SBC与平面A1B1C1的交线.

（1）求证 ：EF AC1； （2）求四棱锥A1-BCC1B1的体积.

变式：（理）第一问与例3相同，第二问变为 （2）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值.

改变设问，是非常常见的变式命题形式，此处变式是因为文理考查要求既有交叉知识点又有不同。理科数学对空间直角坐标系的考查，是文科數学所不要求的，在此种情况下求空间角等问题对文科生来说需要作出空间角利用三角知识解答，难度较大。变式之后，作为理科试题，既起到了考查的目的，又体现了空间直角坐标系解决空间角问题的便利。

（四）改变背景

例4：一个袋子中装有只有颜色不同的13个球，其中红球8个，蓝球5个，现从袋子中任取3个球，

（1）求其中恰有2个蓝球的概率。

（2）记取出的3个球中蓝球的个数为X，求X的分布列，数学期望E（X）及方差D（X）

变式：设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；

（2）在区域U内任取3个点，记3个点在区域V内的个数为X，求X的分布列，数学期望E（X）及方差D（X）

例4来源于数学教材的改编，同时也是与生活联系较紧密的背景。此种背景虽然很好的体现了数学来源于生活，反过来可以解决生活中的数学问题，但是显得比较陈旧了，变式题中的两个区域内的整点很好的契合了例4中的所有球和蓝色球，而变式题的第二问更是将问题从有限样本空间拓展到无限样本空间，很好的将几何概率和二项分布知识联系起来。解决此题，需要学生有良好的转化与化归思想。

2 试题的科学性

上面举例说明了变式的形式和作用，应当指出的是，命题变式不是为了变式而变式，而是为了考查的需要，遵循考生的认知规律而设计，可以是知识点考查、难易度、思维考查、能力考查的要求不同。此外，变式是在原题基础上推陈出新，一定要谨慎、科学，不要题目变了新了却坏了。下面我们举例说明，试题命制的科学性的重要。

例5：如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是中点，且AD=4，则BC=_____

此题是一题逻辑通顺，算理准确，答案能算出但实际不存在的题。只是一类经常会出现的错题，在平时做的习题和考试中都会出现，所以往往被命题者忽略。命题者忽略了题设数据因满足的隐含条件，因此该题虽然计算思路没问题，计算过程也正确，答案也可以求出，可事实上，由于BC=2x=2，出现了

AC+BC=AB，这时并不构成△ABC，即△ABC不存在。

一线教师的命题机会越来越多，命制的试卷良莠不齐，但一份试卷最起码的要求就是不要出现科学性错误，一定要考虑变式的合理性、科学性。

最后希望，通过变式命题对数学问题多角度、多方位、多层次的探究和思考，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔。

参考文献

1、《上海市中小学数学课程标准》上海教育出版社，2004年

2、赵晓楚 周爱东《如何在数学课堂中实施变式教学》中小学教学研究，2007年第5期

3、徐勇彪《变式训练在初中数学中的应用与思考》新课程研究（教师教育）

4、张文娣《例题变式的途径和方法》中学数学（2007年1期）解题研究