不拘一格有妙招

余亚明

【摘要】在学生已有认知经验的基础上，教师根据题型的具体特征，引导学生尝试突破常规的解法，归纳方法和技巧，让学生感受成功。

【关键词】灵活变式探究生成提升能力

数学离不开解题，但解题教学时不应该只重视教会学生一招一式，让学生习惯于所谓的“标准”解法，而应该重视对知识的灵活应用，鼓励学生不断地去探索新的解法，长此以往，学生就能随机应变，从而提高思维能力和创新能力。下面结合教学实际举例谈谈几种突破常规的数学解题方法。

一、 “目标转移”法

例1如图1，已知菱形ABCD，CE、CF分别垂直于AB、AD，垂足为E、F。求证：CE=CF。

解法1：证BCE≌DCF得CE=CF，这是学生易想到的常规解法。

解法2：转移目标，让学生联想菱形对角线的性质，如图2，连结AC，不难得到AC平分∠BAD， 又CE、CF分别垂直于AB、AD，垂足为E、F，利用角平分线的性质可迅速得到CE=CF。

解法3：转移目标，让学生联想菱形面积的计算方法，可得出

S菱形ABCD=AB·CE，S菱形ABCD=AD·CF，又AB=AD， 从而得到CE=CF。

很明显，后两种解法比较简单，不仅改变了学生通过三角形全等来证明结论的习惯，也让学生对菱形的性质有了更深刻的认识，有利于学生沟通知识间的纵横联系。

二、 “一反常态”法

例2计算：（2-1）（2+2）

解法1：原式=2×2+2×2-1×2-1×2=22+2-2-2=22-2=2；该常规解法是运用多项式乘以多项式的法则进行解题。

解法2：观察到2+2=2（2+1），故本题就可以采用以下解法：

原式=（2-1）·2·（2+1）=（2-1）·（2+1）·2=2。

后一种解法改变了固有计算的模式，巧妙地将2+2进行了分解，从而简化了运算的过程，也提高了学生的思维水平。

例3已知方程组2x+3y=11

3x+2y=4，则x+y=。

解法1（常规解法）：利用加减消元或代入消元法解方程组，得到x=-2，y=5，再计算x+y=3。

解法2：将原方程组中两个方程相加得5x+5y=15，再把所得方程两边除以5得x+y=3。

三、 “去伪求真”法

例4如图3，在ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE=CF，M、N是DE和FB的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。

解法1（常规解法）：证ADE≌CBF得DE=BF，∠AED=∠CFB，再由中点条件得EM=NF，由ABDC得∠AED=∠CDE，等量代换得∠CFB=∠CDE，从而DEBF即EMNF，证得四边形ENFM是平行四边。（甚至有学生证两次全等，此处略过。）

解法2：引导学生去掉无用的线条，分析出BEDF且BE=DF可得四边形EBFD是平行四边形，再结合中点条件，学生易得四边形ENFM是平行四边形。

后一种解法去掉了不需要用的线条（“去伪”），抓住要证的，把与问题有关的图形抽象出来（“求真”），轻松解决问题。

四、 “贴近实际”法

例5一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图6，则这次越野跑的全程为米。

解法1（常规解法）：结合图像设两条直线的解析式为：y小明=k1x+1600，y小刚=k2x+1400，当x=100时，y小明=y小刚， 当x=300时的y小明与当x=200时的y小刚相等，100k1+1600=100k2+1400

300k1+1600=200k2+1400，解得k1=2

k2=4，故这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米。（此方法与设两人速度列方程组的方法相同，此处略去。）

解法2：由图像中两线交点的实际意义可知：100秒的时间内小刚比小明多走了200米，说明小刚每秒比小明多走2米；再结合两线交点及两线的末端可知：小刚用100秒（200-100）走的路程和小明用200秒（300-100）走的路程，说明小刚的速度是小明的2倍。故小刚的速度是每秒4米，小明的速度是每秒2米， 最终得出全程2200米。

两种解法本质上是相同的，只是理解的角度不同，笔者在教学时，发现学生更倾向于后种解法，认为更贴近自己的生活实际，实践说明，后种解法更方便、更省时。

五、 “他山之石”法

例6如果关于x的方程|x-1|+|x+1|=k有实根，则实数k的取值范围是（）。

A. k≥0B. k>0C. k≥2D. k≥1

解法1：（1） 当x≥1时，k=|x-1|+|x+1|=x-1+x+1=2x≥2；

（2） 当x≤-1时，k=|x-1|+|x+1|=1-x-x-1=-2x≥2；

（3） 当-1≤x≤1时，k=|x-1|+|x+1|=1-x+x+1=2；

该常规解法需要分类讨论，而且学生极易发生错误。

解法2：联系数轴， 如图7，把数轴上表示-1、1的点记着点A、B，设实数x对应数轴上的动点P，由绝对值的几何意义可知：

PB+PA=|x-1|+|x+1|

当点P在点A的左侧以及点P在点B的右侧时，PA+PB>AB。

当点P在点A、B之间时，PA+PB=AB

故PA+PB≥AB即PA+PB≥2，又因为方程|x-1|+|x+1|=k有实数根，所以选C。

后一种解法用从几何的角度解决了代数问题，更形象更直观，学生易于理解。

例7点（x，2-x）不可能在第几象限？

解法1（常规解法）：分类考虑x是正数、0、负数三种不同情形时，得到的点的坐标情况，解决过程较烦琐。

解法2：设y=-x+2，易得函数y=-x+2的图像分布在第一、二、四象限，所以点（x，2-x）不可能在第三象限。

后一种解法避开了繁杂的分类讨论，巧妙地用函数解决了坐标问题。

以上是笔者在教学实践中的一点尝试。题海茫茫，千变万化，只有不断地总结解题方法，在总结中反思，在总结中比较，才能在总结中提升。从而提高学生的学习积极性，拓宽学生的思维空间，提高教育教学水平。