关于《热学》中熵的探讨

（贵州省六盘水师范学院物理与电子科学系，贵州 六盘水 553004）

一、引言

熵概念在近百年前就被引入，物理学家如克劳修斯、玻尔兹曼等对熵理论的发展都曾有突出贡献[1]。近些年来，熵的研究从物理学到化学、生物学......，还扩展到通信理论和社会经济领域等。而今，熵依然是研究界的热点正日益渗透到科学技术和日常生活的许多领域。国外主要有信息熵，生物熵，社会熵及相变熵[2]研究等。熵概念较抽象，很多学生理解起来困难、吃力。本文通过样卷调查分析找出学生学习《热学》中熵时所遇的知识惑点和学习困难并提出相应的改善方法。目前，对于《热学》中熵的讨论及熵在教与学方面的分析较缺乏，且《热学》教材中对熵知识的介绍有内容局限，因此本文的分析研究，无论是对于熵的知识深化和教学促动都有重要意义。

二、《热学》中熵的探讨

1.熵的介绍

宏观上讲，熵用来度量系统内不可逆过程中初、末两态差异，体现热力学过程进行的自发方向（熵增加原理）；微观上说，熵本质是分子热运动混乱性的量度，系统混乱度越大,熵就越大，对于一个平衡态系统，其熵值最大；从玻耳兹曼熵的角度，熵是衡量系统的无序程度，若系统越无序其熵值越大；科学技术上，熵表征系统功能紊乱的程度。

2.常见的几种熵

2.1 克劳休斯熵

熵概念是克劳休斯于1854年首先提出的[3]，1865年克劳修斯据可逆卡诺循环用完全宏观的方法导出克劳休斯熵。

①由卡诺循环[4]知：

Q1为系统从高温热源所吸热,Q2为向低温热源所放热，Q1与Q2均为代数量,对于可逆卡诺循环，热温比Q/T代数和等于零。

②推广：可逆循环（N个热温源）热温度和Q/T代数等于零:

不可逆循环(N个热温源)热温比Q/T代数和小于零：

③热力学系统的平衡态存在一个态函数，称为熵，记为S，熵在初态A、末态B两平衡态之间的增量，用任意可逆过程的热温比的积分来度量，式中SA为初态熵，SB为末态熵，熵单位为J/K（焦尔/开），积分路径R为任意可逆过程；积分值只与初、末态有关，与中间过程无关。熵是广延量,系统的总熵值等于各部分熵值之和。

2.2 玻尔兹曼熵[5]

1872年玻尔兹曼提出：S=klnΩ，其中S为系统的熵，Ω为热力学概率(即宏观态包含的微观状态数)，k是玻尔兹曼常数。熵是系统内微观粒子排列的无序程度，也是描写热力学概率大小的量度，玻尔兹曼通过S=klnΩ式把熵与热力学概率联系起来，指出了热力学第二定律的统计本质，熵增加原理所表示的孤立系统的自发过程总是由非平衡状态向平衡状态的宏观状态转化。

2.3 信息熵

信息理的奠基人香农用概率统计方法使用信源熵来描述一个随机事件、信息的不确定性，他定义信息的获得意味着在各种可能性中概率分布的集中,对只有两种可能性作出完全判断所需的信息量定为1bit（比特）是信息量的单位.一般来说,从N种可能性中作出完全判断所需的信息[6]为,叫信息熵,记为则；如果有的N种可能性,每种可能性出现的概率为,则信息熵定义为,即信息熵等于各种可能性的信息熵以其概率为权的平均值.信息熵等于对事件作出完全判断所缺乏的信息量,意味着信息的缺损,信息量等于负熵。

2.4 熵与相变

热力学系统具有均匀物理性质称之为处于某一相，除了常见的固、液、气相变外，还有量子相变，几何相变，超导体与正常导体的转变等。由热力学第二定律知从无序向有序相转化系统伴随着熵的损失，因此需要能的减少来补偿。例如，晶体是高度有序，各向同性的液体高度无序，因此，从各向同性液体冷冻结晶过程必须降低抵消熵损失，从而得出熵导致有序相变。很多有序相变，似乎为能致相变，实质上是熵致相变。举例：在胶体中，身体内部的能量是温度的函数，温度一定时，内部的能量保持不变，对相变无影响，因此，降低自由能使熵增加是唯一可能的方法。

3.常见的几种熵间的联系

由玻尔兹曼熵可推出克劳修斯熵，二者等价。由于系统的自发过程是从有序向无序状态的方向，玻尔兹曼熵具有克劳修斯熵的所有功能，克劳修斯熵是玻尔兹曼熵的一种特殊情况，只对系统的平衡态才有意义，熵的变化是指从某一平衡态到另一平衡态的变化。在热力学中克劳修斯熵公式比玻尔兹曼熵公式用的多，但玻尔兹曼熵应用更广泛，玻耳兹曼熵对非平衡态也适用。

信息熵是物理熵的泛化，它是一个随机事件不确定性的量度，获取信息的过程就是要消除事物的不确定性，信息量的多少可以用不确定性的多少来表示，人们获取信息的过程是从无序到有序的转变。

4.熵的应用介绍

熵的应用很广泛，如制冷技术中从被冷却物体中抽取热量，相当于抽取熵，随着物体中熵的减少，物体温度下降，气体能凝结成为液体，液体凝固为固体……，熵的一些其他应用如列表1。

表1 熵的一些其他应用列表

三、关于《热学》中熵的研究

1.关于熵的调查情况

通过250份样卷调查了解学生《热学》中熵的学习情况统计为表2、表3。

表2 学生在熵习题求解中的易错问题

表3 学生在熵习题求解中的出错方式

2.调查的结果及分析

从表2和表3看出，学生在解决熵问题出错率很高，随着问题加难，出错率更高。将出现表2、3情形的原因归类如下：（1）大部分学生对熵的相关概念如“态函数”、可逆过程等不甚理解。（2）学生对前面学习的相关概念、公式以及它们之间的推算关系不清晰导致学生在解答熵的相关题目时常感到无从下手。（3）学生认为熵知识抽象畏难，学习态度不佳。（4）对dS=dQ/T不理解，出错率高。

3.改善方法建议

3.1 针对表2中1、2、3问题，建议教学改善方法如下：

3.1.1 建议老师作好引导，激发学生兴趣 如在引入熵时，向学生强调学习熵的目的和意义，并介绍当前国内外熵的前言理论以激发学生的学习兴趣。

3.1.2 增加学生的学习自主性 采取让学生自己查阅资料、独立总结的学习方式，最后老师再据批改学生作业情况找出存在的问题来进行相应讲析。

3.1.3 增加熵问题的讨论 教师设立熵问题情景，让学生进行“头脑风暴”进行讨论，教师再回答订正，学生印象深刻。

3.2 针对表2中第4问题，建议教学改善方法如下：

3.2.1 讲解细节到位成为必需

求熵变时要注意细节交代，加强对公式的理解和掌握，可增加学生解题的准确率。如计算系统从平衡1到2的熵变时，使用公式

注意交代：（1）积分路径R为任意可逆过程，突出“可逆”；（2）积分值只和始、末态有关，和中间过程无关；（3）使用公式时，T为热源温度还是热力学系统温度要分清。

3.2.2 交代解题步骤，让学生逐步进行

如运用熵增加原理分析熵问题时，分以下几步进行：

（1）先确定热力学系统初态1、终态2两平衡态；

（2）设计一个方便的连接这两个态的可逆过程，可以用公式

计算两个初末状态的熵差。

（3)使用熵增加原理，判断过程进行的方向：

若系统是绝热系统或孤立系统，熵增加原理：孤立系统的熵永不减少。

举例[7]一容器被一隔板分隔为体积相等的两部分，左半中充有物质的量为a摩尔的理想气体，右半是真空，将隔板抽掉后气体自由膨胀，求熵变。

解：（1）确定气体膨胀前为系统初态1、膨胀后为系统终态2。

（2）确立可逆等温膨胀过程，使用公式计算两个态的熵差。

限于篇幅，其余例子不再列举。

四、研究意义

通过本文研究可为学生提供一个学习和研究熵问题的思路，使学生对熵的理解深化、对熵的了解视觉变宽广，能提高学生对熵问题的分析解决能力。