例谈高三数学复习题组训练选题技巧

湖北省武汉市第十二中学　　余智敏



例谈高三数学复习题组训练选题技巧

湖北省武汉市第十二中学余智敏

题组训练就是从典型例题（基础问题）入手，通过一题多变、试题改编与延伸，进行有效的变式教学.这种变式改编的例题既能帮助学生巩固已学知识，更能促使学生提高思维能力；既有利于改变高三复习中学生只愿做题，不会反思的现象，又能激发学生学习的兴趣，提高复习的积极性.其实高考中的新题只能是少量的，绝大多数试题要依赖陈题的改编，且高考十分强调公平公正，即试题的信度和效度，因此大家都能接触到的高考题、模拟题或教材原题的改编成为高考命题的主要手法之一.

“圆锥曲线中两条相交直线的斜率之积为定值”问题在近年的高考试卷上出现了十余次，在各地调考模考试卷中也频繁出现.常考的知识点会承载更多的优质方法和更高的训练效率.本文就以“圆锥曲线（主要是椭圆和双曲线）中两条相交直线的斜率之积为定值”为例，阐述选题的思路，探讨高三题组训练选题技巧.通过研究我们发现，题组编写其实有章可循，掌握方法就能做到轻车熟路，简单易行，真的是“千淘万漉不辛苦，吹尽狂沙始到金”.

一、从熟悉的情景中引出专题

在题组问题的确定上，我们通常建议选择切入点较多、方法多样，特别是还可延伸推广、进行变式的问题，那么学生熟悉的问题便成为首选.以熟悉的情景出发编写题组，更贴近学生的最近发展区，能帮助学生将所学的知识与方法系统化、网络化，将所学内容连成线、织成网、铺成面，熟悉知识之间的联系，然后进行延伸拓展和能力提升，掌握分析解决问题的一般思维方法.同时，教师不妨把选题的主要精力放在近年高考真题和各地模拟试题上，通过简单的收集整理、分类筛选，从中选出符合高考要求的试题或试题的部分内容.

先论证P为弦的中点时，弦的斜率和弦中点与原点连线的斜率之积为

例1：（2010·新课标理，12）已知双曲线的中心为原点，P（3，0）是双曲线的焦点，过P的直线l与E相交于AB两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（）.

解析：通过P、N两点写出直线l的斜率，借助斜率之积为定值即可快速求解.

例3：（2005·全国I理，21）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，+与a=（3，-1）共线，求椭圆的离心率.

变式意图：这道题除了使用规律外，还可以让学生体会中点也可以通过向量给出，可进一步归纳出向量加法的平行四边形法则中，平行四边形对角线互相平分必然得出中点.

二、从类似的结论中拓展广度

把熟悉的知识系统化以后，对学习中等的学生而言肯定是学到了“新知识”，但是，对于数学能力强、一轮复习效果好的学生来说，可能并无所获，缺乏新鲜感，若长此以往，是不利于尖子生的持续发展的.因此，二轮复习时，教师应当站在更高的角度来审视试题，更好地挖掘数学知识的潜在功能，教师应适当地对例题、习题进行变式推广，让学生在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下经历一种重新的认识，对涉及知识点向多侧面、广角度进行合理拓宽，从“点”出发，把“面”带出来呈现给学生，让学生能更加系统全面地掌握知识.

类型二：A1，A2为椭圆或双曲线的顶点.

类型三：A1，A2为椭圆或双曲线上关于原点对称的点.

分析1：此规律的证明只需取PM或PN的中点C，连OC，由中位线及第一节规律即可轻松证得.

变式意图：在新的规律下，这个变式的解法已经上了一个新台阶，无需再取弦中点，跳过了中位线的过渡，使得解法更为简洁，让学生体会规律的发展过程，并留下深刻的印象.

三、从方法的应用上加强深度

类型四：轨迹问题.

解析：这道高考题考察解析几何的通法——“设而不求”.直线代入曲线，设点的坐标，写韦达定理，向量坐标化，消参、四进二、二进一.这些基本操作要求学生熟练掌握.

变式意图：从具体问题的研究上升到对一般结论的探究，三个问题可以共用一个演算过程，最后知二推三的环节对于培养学生逻辑推理能力非常有好处.这样的问题变式对学生而言是学习数学、培养数学兴趣、发展提出问题并解决问题能力的良好素材，对教师而言是灵动地把握教学，潜移默化地发展学生思维能力，进行科学命题和测试的良好手段.

选例意图：这道题启发学生对于熟悉的规律如何变通使用.平时训练的内容不会原封不动的考查，要加强知识的迁移能力才能以不变应万变.

变式意图：从具体问题的研究上升到对一般结论的探究，这种“原生态”的计算对学生的训练效果更好，而且培养学生追根溯源，探求本质，不达目的不罢休的钻研精神和科学态度.

四、从知识的交汇处提升能力

选例意图：这道题难度较大，对于没有见过此类问题的学生入口较窄，所以平时多积累处理解析几何的模型素材是很有必要的.学生可以体会专题复习带来的好处.

五、从信息的创新处开阔眼界

最近在互联网上又发现了下面一个“两直线斜率乘积为定值”的结论.

选题理由：高考命题的素材很多来自于期刊论文、竞赛题、自主招生题目等，教师随时关注贴近高考的新信息和新发现，对部分有条件的学生适当补充，对于开阔学生眼界，充分备考都有好处.

在高三复习中，教师作为课堂教学的主导者，应发挥题组训练的卓越功能，本着“从熟悉的情景引出专题，从类似的结论拓展广度，从方法的应用上加强深度，从知识的交汇处提升能力，从知识的创新处开阔眼界”的原则和方法，编写高质量的题组供学生训练使用.一方面可以帮助学生短时间内较快地形成知识的网络系统并加深理解，使学生的零碎知识结网成片，形成一个完整的体系，构建立体的知识大厦；另一方面通过题组训练，教师可以总结解题方法，指点解题技巧，敲打注意问题，指明应用方向，培养学生的综合应用能力，引导学生多角度进行思考，从而调动学生学习的积极性，锻炼思维的灵活性，培养创新意识与发散性思维.

编辑/王一鸣

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