基于凸优化的低复杂度平面阵列综合方法

陈金立，钟济阳，曹华松

（南京信息工程大学 电子与信息工程学院，江苏 南京　210044）



基于凸优化的低复杂度平面阵列综合方法

陈金立，钟济阳，曹华松

（南京信息工程大学 电子与信息工程学院，江苏 南京210044）

摘要：针对运用凸优化方法综合平面阵列耗时较长的问题，提出一种基于凸优化的低复杂度平面阵列综合方法。该方法将基于加权ℓ1范数最小化的平面阵列综合模型中二维波束旁瓣约束条件转换成横向阵列和纵向阵列的一维波束旁瓣约束问题，从而降低了凸优化的约束条件数，有效加快了算法的收敛速度。仿真结果表明，该方法虽然在平面阵列综合的稀疏程度方面要稍劣于传统凸优化方法，但是它能快速获得具有大范围低波束旁瓣电平以及更短孔径的平面阵列。

关键词：平面阵列；阵列综合；凸优化；低复杂度

0　引言

稀疏阵列是一种从规则的栅格中抽去天线单元或接匹配负载而形成的阵列，其具有孔径较大、波束较窄以及空间分辨率较高等性能，已被广泛应用于雷达、电子通信、以及卫星广播电视等领域[1]。然而，稀疏阵列由于其阵元的稀疏布置导致其波束旁瓣电平抬高。稀疏阵列综合的目的就是通过联合优化阵列的阵元位置和激励方式，使得天线阵列能够以最少的阵元数目满足期望的波束辐射特性[2]。

随着计算机技术的飞速发展，高效的阵列综合方法已成为研究热点。目前应用于平面稀疏阵列综合的算法主要有遗传算法[3]、模拟退火算法[4]、粒子群算法[5]以及蚁群算法[6]等，这些算法从本质上来说都是基于随机性的自然算法，在综合过程中需要进行大规模的搜索，导致此类算法的收敛速度慢，并容易陷入局部最优解等问题。稀疏阵列在空间上离散、稀疏的分布特点与最近发展的信号重构理论中稀疏信号的特性相类似，可将天线阵列综合问题看作是空间稀疏信号重构的问题，因此，稀疏信号重构技术为阵列综合问题的解决提供了一个新的途径。文献[7]提出了一种基于ℓ1范数最小化的稀疏线性阵列综合方法，该方法将稀疏信号重构方法如凸优化方法应用于稀疏阵列综合问题的求解中。文献[8]建立了基于迭代加权ℓ1范数最小化的阵列综合模型，利用迭代凸优化方法实现线性阵列综合，即利用上一次迭代获得的阵列激励向量求解当前迭代的激励向量，从而能获得稀疏程度更高的稀疏阵列。

大型平面阵列可以同时测量目标的俯仰角和方位角，从而能够实现目标的三维空间定位，其应用范围要大于远线性阵列，因此研究平面阵列的综合方法更具有实际意义。文献[9]利用加权矩阵的共轭对称性将波束约束条件转变为凸函数，从而可利用凸优化方法解决平面阵列的综合问题。文献[10]利用凸优化方法求解一系列基于加权ℓ1范数最小化的平面阵列波束综合问题，在满足辐射特性的条件下能获得尽可能稀疏的平面阵列。由于平面阵列通常包含较多的阵元，而且在阵列综合模型中其二维波束旁瓣的抑制范围较大，从而导致需要相当长的时间来综合出满足要求的平面阵列。为此，本文提出了一种基于凸优化的低复杂度平面稀疏阵列综合方法。该方法首先建立基于加权ℓ1范数最小化的平面阵列综合问题，然后利用Kronecker积的性质将整个二维观测角度上的波形约束条件转换为两个一维观测角度上的波形约束问题，从而使得平面阵列综合的复杂度与两个线性阵列综合问题相当。因此，本文方法在满足期望峰值波束旁瓣电平的条件下能够快速综合出孔径更短的平面阵列，由于该方法综合后的平面阵列具有大范围低波束旁瓣电平，使得其在平面阵列的综合稀疏程度方面会稍劣于传统凸优化方法。

1　平面稀疏阵列模型

考虑如图1所示的平面阵列，图中黑点表示天线单元。在阵列区域内，沿x轴及其平行方向各有M个栅格点，沿y轴及其平行方向各有N个栅格点，这些栅格点可布置天线单元，dx和dy分别表示x轴方向和y轴方向的相邻阵元最小间距。θ和φ分别表示信号的俯仰角和方位角，定义域分别为

图1　平面稀疏阵列结构

平面阵列的导向矢量A和激励矢量w分别表示如下：

式中：[⋅]T表示矢量转置；amn=e-jk(mdxμ+ndyv)是阵列单元(m,n)的方向图 (m=0,1,2,…,M-1;n=0,1,2,…,N-1)；，λ为波长；μ和 v是方向参数，分别表示为μ=sin θ cos φ和 v=sin θ sin φ，其取值范围分别为μ∈[-1,1]和v∈[-1,1]；wmn是第(m,n)个位置上天线单元的激励值。假设阵列中的单元都是无方向性的，则平面阵列的方向图可表示为：

由式（3）可知，影响平面阵列波束方向图综合性能的主要因素有阵元的个数、阵元的位置及其激励。稀疏阵列综合的本质就是在给定的约束条件下求取上述各参数的过程。在给定的平面阵列规模和旁瓣电平约束条件下，以寻找出阵元数目最少的平面稀疏阵列为目标对阵元位置和阵元激励进行综合，则采用加权ℓ1范数优化的阵列模型表示如下[10]：

式中：[⋅]H表示矢量的共轭转置；Q是由一组加权系数qk组成的1⁃范数加权矩阵；μ0和 v0为期望波束主瓣所对应的方向参数；Ω为平面阵列的波束旁瓣区域；psl是给定的峰值旁瓣电平。

2　平面阵列的低复杂度综合方法

由式（4）可知，平面阵列综合问题的求解所需时间与平面阵列的旁瓣区域Ω有关，与线性阵列相比，由于平面阵列的观测角度为二维角度，因此其在旁瓣区域Ω内的采样数会呈平方式增长，从而导致阵列综合问题中约束条件较多，则利用凸优化方法求解式（4）会耗时很长。因此为了提高平面阵列综合的速度，必须简化式（4）中的波束旁瓣约束条件。

由式（1）可知，平面阵列的导向矢量A可改写为：

式中：wx和wy分别为平面阵列的横向阵列和纵向阵列的激励向量。将式（5）和式（6）代入式（3），根据Kro⁃necker积的性质可得：

式中：Fx(μ)=(μ)×wx为横向阵列的波束方向图；Fy(v)=(v)×wy为纵向阵列的波束方向图。假设Fx(μ) 和Fy(v)均为归一化波束方向图，即Fx(μ)1，Fy(v)1，则根据式（7），式（4b）可改写为：

旁瓣电平约束条件式（4c）可等效为：

式中：Ωx和Ωy分别为方向参数 μ和v在波束旁瓣区域内的取值范围。由于Fx(μ)1，Fy(v)1，满足式（9）的充分条件为：

由式（8）~式（10）可知，基于加权ℓ1范数最小化的平面阵列综合问题，即式（4）可改写为如下形式：

式中Qx和Qy分别为横向阵列和纵向阵列的1⁃范数加权矩阵，分别由式（12）和式（13）决定。

由式（11）可知，本文利用Kronecker积的性质将整个二维观测角度上的旁瓣约束条件即式（4）分解成两个一维观测角度上的旁瓣约束问题，大大降低了平面阵列综合时的约束条件数，即平面阵列综合问题等效于横向阵列和纵向阵列的综合问题，从而使得平面阵列综合的复杂度与两个线性阵列综合问题相当。当迭代次数达到或者满足终止条件（14）和（15）时平面阵列综合完成：

式中ξx和ξy为误差值。令：

3　仿真实验

本文对基于凸优化的平面阵列综合问题中的约束条件进行了简化，提出一种低复杂度的平面阵列综合方法。下面设计了运用传统凸优化方法和本文方法进行平面阵列综合的对比实验。以下仿真实验均使用配置为Intel®Core™i5⁃4570处理器、主频为3.2 GHz、内存为4 GB的计算机。

仿真参数设置如下：平面阵列x轴方向的阵列孔径为4.5λ，y轴方向的阵列孔径为8λ，x轴方向阵元间距dx=，y轴方向阵元间距dy=，则初始化平面阵列的横向阵元数M=19，纵向阵元数N=33。要求阵列综合后波束方向图峰值旁瓣电平小于-20 dB，设置方向参数 μ和 v在其取值范围内的采样数分别为Lμ=41和Lv=41，误差最小值 ξx=ξy=10-3。

图2（a）和图2（b）分别是利用文献[10]中的迭代凸优化方法和本文方法进行平面阵列综合获得的阵元位置分布图。图3（a）和图3（b）分别为文献[10]方法和本文方法综合后的平面阵列波束方向图。

图2　利用文献[10]方法和本文方法综合后的阵元位置分布图

由图2和图3可知，两种方法综合后的平面阵列的波束旁瓣电平均控制在-20 dB以下；文献[10]方法需要3 168 s的综合时间获得阵元数为41的平面稀疏阵列，这是由于二维观测角度所对应的旁瓣约束条件较多，影响了平面阵列综合的收敛速度；而本文方法仅需3 s即可快速完成平面阵列的综合，综合后的平面稀疏阵列阵元数为48，由于本文方法综合后的平面阵列具有大范围低波束旁瓣电平以及更短的阵列孔径，这使得其在平面阵列的综合稀疏程度方面要稍劣于文献[10]中的方法。平面阵列具有大范围低波束旁瓣电平，可以降低外界干扰信号的影响，而更短的阵列孔径可降低平面阵列对工作环境的限制，使得布阵更具有灵活性。

图3　文献[10]方法和本文方法综合后的平面阵列波束方向图

4　结语

由于平面阵列包含阵元数较多且其二维波束旁瓣的抑制范围较大致使凸优化约束条件数剧增，从而导致平面阵列综合的耗时很长。本文提出了一种基于凸优化的低复杂度平面阵列综合方法，利用Kronecker积的性质将平面阵列综合中的二维波束旁瓣约束条件转化为一维波束旁瓣的约束条件，大大减少了凸优化的约束条件数，从而加快了平面阵列综合的速度。本文提出的平面阵列综合方法在收敛速度、阵列孔径长度以及低波束旁瓣范围等方面均优于传统的凸优化方法。

参考文献

[1]吴海洲，王鹏毅，郭肃丽.全空域相控阵测控系统波束形成分析[J].无线电工程，2011，41（11）：13⁃15．

[2]王玲玲，方大纲.运用遗传算法综合稀疏阵列[J].电子学报，2003，31（12）：2135⁃2138.

[3]彭祥龙.用遗传算法优化任意稀布率的平面阵列[J].电讯技术，2007，47（3）：153⁃158.

[4]廖先华，杨建红，张立军，等.基于模拟退火算法的平面稀疏阵优化[J].现代雷达，2012，34（10）：57⁃59.

[5]DELIGKARIS K V，ZAHARIS Z D.Thinned planar array de⁃sign using Boolean PSO with velocity mutation[J].IEEE Tran⁃sactions on Magnetics，2009，45（3）：1490⁃1493.

[6]RAJO⁃LGLESIAS E，QUEVEDO⁃TERUEL O.Linear array syn⁃thesis using an ant⁃colony⁃optimization⁃based algorithm[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2007，49 （2）：70⁃79.

[7]CEN L，SER W，CEN W，et al.Linear sparse array synthesis via convex optimization[C]//Proceedings of 2010 IEEE Interna⁃tional SymposiumonCircuitsandSystems.Paris：IEEE，2010：4233⁃4236.

[8]PRISCO G，D′URSO M.Maximally sparse arrays via sequen⁃tial convex optimization[J].IEEE Antennas and Wireless Pro⁃pagation Letters，2012，11：192⁃195.

[9]NAI S E，SER W，YU Z L，et al.Beampattern synthesis for linear and planar arrays with antenna selection by convex opti⁃mization[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2010，58（12）：3923⁃3930.

[10]FUCHS B.Synthesis of sparse arrays with focused or shaped beampattern via sequential convex optimizations[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2012，60（7）：3499⁃3503.

中图分类号：TN957⁃34

文献标识码：A

文章编号：1004⁃373X（2016）03⁃0009⁃04

doi：10.16652/j.issn.1004⁃373x.2016.03.003

收稿日期：2015⁃10⁃16

基金项目：国家自然科学基金（61302188，61372066）；江苏省自然科学基金（BK20131005）

作者简介：陈金立（1982—），男，浙江宁波人，讲师，博士。主要研究方向为阵列综合和阵列信号处理。

Low complexity planar array synthesis method based on convex optimization

CHEN Jinli，ZHONG Jiyang，CAO Huasong
（College of Electronic and Information Engineering，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China）

Abstract：Since the convex optimization method used to synthesize the planar array has long time consuming，a low com⁃plexity planar array synthesis method based on convex optimization is proposed.The two⁃dimensional beam sidelobe constraint condition in the planar array synthesis model based on weighted ℓ1norm minimization is transformed into the one⁃dimensional beam sidelobe constraint condition for horizontal array and longitudinal array by the method，which can reduce the number of convex optimization constraint conditions，and effectively promote the convergence speed of the algorithm.The simulation results show that the proposed method performs slightly worse than the traditional convex optimization method in the aspect of sparsity degree of synthesis planar array，but it can fast obtain the planar array with shorter aperture and broader low⁃beam sidelobe level.

Keywords：planar array；array synthesis；convex optimization；low complexity