民族预科数学“微分中值定理”的教学探索

谢振中+尹小红

摘 要： 本文从民族预科学生的基本特点和数学基础等实际情况出发，就微分中值定理的教学方法进行了有益的探索，把教学重点转移到对定理结论的几何剖析，构造辅助函数方法，以及微分中值定理的简单应用上.

关键词： 民族预科数学 微分中值定理 教学探索

1.问题的提出

微分中值定理是民族预科数学《微积分基础》中的基本内容，它包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理，它是微分学的理论基础.正确理解中值定理的条件和结论及其证明，对应用导数研究函数变化的性质的教学及学生学好微积分起着十分重要的作用，如何让预科学生领会定理的精髓和掌握定理的证明方法，是微分中值定理教学的重点和难点.这部分内容较多，理论性较强，不能照本宣科，必须细致深入地分析，才能使学生从整体上理解微分中值定理的基本内容、证明方法.预科学生数学基础较差，理解能力较弱，这给本节内容的教学带来不少困难.为了改变这种局面，根据民族预科学生的基本特点和数学基础等实际情况，我们就微分中值定理的教学方法进行了有益探索，把教学重点转移到对公式的几何直观剖析和定理的证明方法上，做到简单易懂，深入浅出，领会定理精髓，在Rolle中值定理的基础上重点介绍了定理证明的辅助函数构造法，并通过一些典型例题就如何运用辅助函数构造法加以训练，取得较好的课堂教学效果.

2.从几何问题引入微分中值定理

2.1观察几何问题

如图1所示，点A、B是连续曲线y=f（x）上的两端点，弦A B平行于x轴，除端点外，曲线上每一点都有不垂直于x轴的切线，则该曲线上至少存在一点C，过该点有水平切线，即平行于两端点A、B的弦.如图2所示，若连续曲线y=f（x）在（a，b）内的每一点都有不垂直于x轴的切线，则该曲线上至少存在一点C（ξ，f（ξ）），使曲线在该点的切线平行于过曲线两端点、的弦.如图3所示，若曲线为：x=g（t），y=f（t），t为参数，a≤t≤b，在（a，b）内的每一点都有不垂直于x轴的切线，则该曲线上至少存在一点C（g（ξ），f（ξ）），使曲线在该点的切线平行于过曲线两端点A、B的弦.

2.2几何分析

经过几何观察，不难看出上述三个几何图形有着共同的几何特征，那就是在曲线上至少存在一条切线平行于两端点A、B的弦，这三种几何特征在理论上分别对应Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理，三个微分中值定理正是这一几何特征在不同条件下分析表述的结果.

3.从定理的内容引入微分中值定理

3.1Rolle中值定理

3.4三大微分中值定理之间的关系

经过直观的几何分析和理论推导可知，三个微分中值定理之间不是孤立的，它们有相同的几何特征，而是相互联系的.从定理的条件和结论看，当g（x）=x时，Cauchy中值定理就变为Lagrange中值定理；当f（a）=f（b）时，Lagrange中值定理就变为Rolle中值定理.

4.结语

初学者对微分中值定理的理解和证明都感觉很难，通过直观的几何分析可加深对定理基本精髓的理解和掌握，通过对定理的证明及例题的讲解，使学生对辅助函数的构造有一个基本思路，不再感到为难，对辅助函数构造法的运用起到较好的巩固知识的作用，更进一步明确三个微分中值定理有相同的几何特征，它们之间不是孤立的，而是相互联系的，使得对定理的精髓有全面的理解，也起到从几何直观出发运用启发式教学方法解决理论性教学内容的有效作用.

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]四川大学数学教研室.高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]黄永彪，杨社平.微积分基础[M].北京：北京理工大学出版社.

基金项目：湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通（2015）291号）。