探讨高阶有理差分方程的全局动力学行为的发展

刘纯英

【摘 要】本文主要探讨了非线性有理差分方程的全局渐近稳定性证明的发展历程，并总结了有理差分方程的全局动力学行为证明方法。

【关键词】差分方程；全局渐近稳定性；全局动力学行为

20世纪90年代以前的计算数学工作者都致力于各种差分方程的计算方法研究，数值计算误差分析以及保证计算的精度符合实际的要求等等，之后至今数十年来，差分方程的理论研究发展的较为迅猛，出现了大批的成果，而这些成果中尤其具有代表性的著作是1992年R.P.Agarwal的专著[1]和1993年V.L.Kocic，G.Ladas的专著[2]. Agarwal从差分方程的基本理论，包括基本概念和符号，到已经发表的文献中重要结果进行了详尽的系统的阐述。该书在2000年进行了再版，扩充了一些内容并且补充了一些具有实际意义的模型。而Kocic与Ladas的专著[2]中在介绍基本理论，总论已有结果和方法的基础上提出了许多研究问题。并且把研究过程中遇到解决不了问题在书中以“Open problems and Conjectures”的形式提出，这引起了研究者的极大的兴趣。

到1995年国际差分方程专业期刊《Journal of Difference Equation and Applications》的创业更加推动了差分方程的理论发展，尤其是杂志主编G.Ladas教授把各国学者在研究过程中遇到的难题以“Open problems and Conjectures”的形式在杂志专栏中提出，为差分方程理论研究提供了有意义的课题。

近来，高阶有理型差分方程的定性性质引起了大家的极大兴趣，高阶有理型差分方程的全局动力学行为是近几年来各国研究差分方程的热点，这是因为非线性差分方程的全局行为的基本理论的发展的结果都来自于高阶有理型差分方程。

研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局渐近稳定性没有固定的方法，对不同的问题所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一种有力的工具，寻找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局渐近稳定性还有待于进一步探索。

正是在此基础上，对四阶及以上阶次的差分方程解的全局渐近稳定性进行研究，这将对差分方程解的定性性质的研究有极大的推动作用。

差分方程经常用于模拟生物学，电子学，生物学，工程学和经济学等学科中出现的微分方程或时滞微分方程的离散模拟或数值求解。近年来，全局渐近稳定性的定性性质引起了大家的极大兴趣，通过对有理差分方程的全局渐近稳定性的研究，通过分析关于平衡解的半环的分布规律来确定平衡解的稳定性，得到了此类有理差分方程解的全局渐近稳定性的一些充分条件。这些性质在生态学，物理，化学，工程，医学等诸多方面的研究中都有非常重要的应用，因此，对它的研究具有重要的实际意义和应用前景。

【参考文献】

[1]AGARWAL R P. Difference equations and inequalities[M]. 2nd ed.New York：Marcel Dekker， 1992.

[2]LI X.Global behavior for a fourth order rational difference equation[J]. Math.Anal.Appl， 2005，312：555-563.

[3]G.Ladas， Open problem and conjecture[J]. Difference Equ.Appl， 1995，1（1）：161 -163.

[4]LI X. The rule of semicycle and Global Asymptotic Stability for a Fourth-Order Rational Difference Equation[J]. Comput Math.Appl， 2005，49：723-730.

[5]A.M.Amleh，N.Kruse， G.Ladas，D.A. On a class of difference equations with strong negative feedback[J]. Difference Equ.Appl， 1999，5：479-515.

[6]X.Li，D.Zhu，Global asymptotic stability for two recursive difference equations [J]. Appl.Math.comput， 2004（150）：481-492.

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[8]X.Li. The rule of semicycle and Global Asymptotic stability for a Fourth-order Rational Difference Equation[J]. comput.Appl.Math， 2005，49：723-730.

[9]X.Li.Qualitative properties for a Fourth-order Rational Difference Equation[J]. Math.Anal.Appl， 2005，311：103-111.

[10]X.Li. The rule of trajectory structure and global asymptotic stability[J].Math.Anal.Appl， 2006，458：456-459.

[责任编辑：杨玉洁]