不定积分中的一些做题技巧

（陕西交通职业技术学院，陕西西安710018）

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不定积分是高等数学中的一个重要内容，如何运用基本的积分方法来解题，有一些技巧。本文对不定积分的常用方法给出了技巧，并通过例题作了具体的说明，希望能给同学们的积分学习带来一些帮助。

拆补法；不定积分；凑微分；分部积分法

积分是高等数学的重要内容，积分的计算是一个关键问题。对于高职学生，如何正确求解一个积分更是困难。积分主要分为不定积分和定积分，二者在常用的积分方法上基本是一致的。本文主要从不定积分的计算方法入手，在不定积分的计算中，选取常用的几种方法以例子的形式给出一些做题技巧，希望可以给积分的学习带来一些帮助。

一、拆补法

对于有些不定积分，我们需要对分子进行拆开或者添补，达到化简的目的，这个方法在不定积分的计算中非常常见与有效。

1.拆开法

分析：考虑分母为sin2x cos2x，可将分子拆为sin2x+ cos2x，然后分成两项进行积分。

2.添补法

分析：我们可将分子变为（x+2）-2，然后将被积函数分成两项进行计算。

二、凑微分法

1.被积表达式中的“dx”独自变形，被积函数不需要变形

分析：此种积分中，被积函数形式上非常接近基本积分公式表中的被积函数，实际上，此时的被积函数为基本积分公式表中的被积函数的复合函数（即y=f（g（x），复合过程为y=f（u），u=g（x），只需要变形“dx”为“df（x）”即可。

2.被积函数变成相乘的两部分，一部分留下来继续作为被积函数，另外一部分与“dx”凑成一个新的微分，为留下来的被积函数服务。

三、分部积分法

分部积分法主要适用于被积函数由两种不同类型基本初等函数相乘的形式。

我们需要将被积表达式变为udv的形式，重点在于u的选取。我们可按以下的原则进行：

反对幂三指，谁前谁为u，其余为dv

我们需要注意两点：

1.“反对幂三指”分别指基本初等函数中的反函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数。

2.被积函数中若遇到1，可看成幂函数x0

分析：被积函数是幂函数“x”与三角函数“cos x”相乘，根据“反对幂三指，谁前谁为u”的原则，幂函数在三角函数的前面，因此选择“x”为u，“cos xdx”为dv

则du=dx，v=sinx

本文仅针对不定积分的部分方法给出做题技巧，实际上在做题中，还有其他的一些技巧，比如分母有理化，利用图形进行三角代换等。同时虽然定积分与不定积分的有些方法是一致的，但定积分也有一些独有的方法，如利用定积分的几何意义计算积分值、积分中值定理等。高等数学中每个知识都是值得我们去深入探索的，在平时的学习中，应该多练习，多总结，掌握更多的做题技巧。

［1］张博，吉耀武，李金锁.高等数学（经管类）［M］.北京：高等教育出版社，2008：105-116.

［2］王萍.不定积分技巧点滴［J］.上海工程技术大学教育研究，2006（2）.

［3］陈飞.关于不定积分的解题技巧的探讨［J］.商丘职业技术学院学报，2014（2）.

［4］张永胜.不定积分求解方法研究［J］.洛阳工业高等专业学校学报，2004（9）.

［5］孙立卓，孙群.谈不定积分运算中的一些灵活性［J］.高等数学研究，2002（5）.

不定积分中的一些做题技巧

刘颖

Indefinite integral is an important content in advanced mathematics.There are some skills in using the basic indefinite integral method to solve problems.This paper gives some skills in the methods of indefinite integral and makes specific description by examples.I hope that this paper can bring some help to students in learning indefinite integral.

demolition and complement method；indefinite integral；improvising differentiation；integration by parts

G642文献标志码：A文章编号：2096-000X（2016）18-0101-02

刘颖（1985-），陕西交通职业技术学院基础部数学教师，讲师。