用导数求曲线经过一点切线的讨论

吴邦昆

（合肥职业技术学院，安徽 合肥 238000）



用导数求曲线经过一点切线的讨论

吴邦昆

（合肥职业技术学院，安徽 合肥 238000）

摘 要：利用导数求曲线经过一点的切线方程，由于所经过的这一点位置、角色的不同，求切线方程的方法往往不一样，这里就经过的这一点在不在曲线上，曲线在该点是否可导，所求切线是否唯一这几个方面，对利用导数求曲线经过一点的切线问题进行讨论。

关键词：导数；曲线；切线；讨论

利用导数求曲线经过一点的切线方程，需要具体分析该点是否在曲线上，若该点在曲线上，曲线在该点是否可导，该点是否为切点以及所求切线是否唯一。不同情行需要采取不同方法，只有这样才能使解题过程严谨而周密，不会出现这样或那样的问题。初学者在解决这类问题时往往忽视分析，习惯直接利用导数的几何意义求切线方程，这样经常会出现似是而非的结果。下面就不同情行下，对利用导数求曲线经过一点的切线方程问题进行讨论。

问题一、点不在曲线上

求切线方程的一般解决方法如下：

问题二、点在曲线上，但曲线在该点不可导

情形1：曲线在该点不可导，曲线过该点的切线不存在。

情形2：曲线在该点不可导，曲线过该点的切线存在。

问题三、点在曲线上，曲线在该点可导

⑦ 刘译：What makes the difference is that one has heard the Way before the other and that one is more specialized in his craft and trade than the other-that is all.[4]38

分析：点（1，1）显然在此曲线上，且曲线在此点可导，求曲线在点（1，1）处的切线方程，则说明点（1，1）是所求切线的切点，可直接利用导数的几何意义求解。

利用导数求曲线经过一点的切线方程，要根据实际问题进行具体分析，不同情行需要采取不同方法，只有这样才能使解题过程严谨而周密，不会出现这样或那样的问题。

参考文献：

[1]殷瑕.例谈利用导数求解曲线的切线问题[J].中学课程辅导(教学研究),2013,(3).

[2]李亚章.导数在研究切线问题中的应用举例[J].中学数学月刊,2012,(3).

[3]桑观赏.用导数求切线方程的四种类型[J].中学生数理化(高二版),2012,(1).

[4]郭奕俊.求曲线切线应注意的一个问题[J].中学数学研究,2012,(9).

[5]同济大学应用数学系主编.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002.

（责任编辑：韩拥军）

中图分类号：O182

文献标识码：A

文章编号：1671-752X(2016)02-0072-02

收稿日期：2015-12-27

作者简介：吴邦昆（1964-），男，安徽庐江人，合肥职业技术学院副教授，研究方向：高等数学教育教学。

基金项目：安徽高校省级质量工程项目“《高等数学》精品资源共享课程”（编号：2013gxk161）;合肥职业技术学院质量工程项目“《高等数学》精品课程”（编号：JPKC201302）。