复合函数复合过程的终结状态

谭宝军

辽宁铁道职业技术学院

复合函数复合过程的终结状态

谭宝军

辽宁铁道职业技术学院

文章在初等函数范围内考查了分解“复合函数”的问题。明确提出“复合函数”复合过程的“终结状态”概念，给出了确定“终结状态”的两条依据，提出了终结状态的标志，并进行了一定的讨论。

复合函数；复合过程；终结状态

1.问题

复合函数并不是一类新的函数，只是指明了某些函数在给出它们的定义时所用方法方面的一些特征而已[2]，其意义在于提供了一种构造、分析函数的方法。如：由已知函数y=ex,y=sinx可构造出函数y=esinx；相反可以将函数y=esinx视为由y=eu,u=sinx复合构成。初等函数要求有限次复合，分析复合函数的复合过程就存在一个结束的问题。出现什么情况视为分解过程的结束，这是一个重要的过程性要素，是必须解决的问题。本文把标志分解过程结束的情况称为复合函数复合过程的终结状态，以下简称终结状态。讨论终结状态除了我们必须给出这种过程性要素外，也是构造、分析函数的方法所要求的。

终结状态在一般的书籍都没有提及，笔者只考查到一类比较明确的提法。如：“分析复合函数的复合过程，即把一个复合函数拆成几个简单的函数。”这种提法比较含糊，会造成错误理解，如果把这种提法理解为分到单一的基本初等函数，将会产生太多的反例，如y=ex+sinx是由y=eu,u=x+sinx复合而成的。这里的u=x+sinx是幂函数y=x和正弦函数y=sinx通过相加而构成的初等函数，而非基本初等函数。又如果把这种提法理解为分到出现基本初等函数的四则运算，也存在着反例，如y=ln(sinx+x2+1)是由y=lnu,u=sinx+x2+1复合而成的，结果中的函数x2+1非基本初等函数。可见这种提法是不够科学的，不但会因为理解的不同造成结果的差异，从根本上讲也没有回答出“终结状态”[3]。

“终结状态”不但是复合过程的要素，而且要满足方便分析函数性质的需要，因此确定终结状态要遵守关键性的两个原则：第一，科学性原则，要在理论上能够科学地标志复合过程的结束；第二，实践性原则，要能体现出方便分析函数性质的要求。

2.结论

“分到出现单一的基本初等函数或函数间的四则运算为止”，用单一的基本初等函数或函数间的四则运算作为终结状态。如函数y=ecos[x+sin(x+1)]是由y=eu,u=cosv，v=x+sin(x+1)复合而成，上述各函数均为基本初等函数或函数间的四则运算，则视其为函数y=ecos[x+sin(x+1)]复合过程的终结状态。虽然结果v=x+sin(x+1)中仍然含有复合函数，但它是另外一个函数y=sin(x+1)的复合过程。

3.讨论

3.1.科学性

在分解过程中出现了单一的基本初等函数是显而易见的复合过程的结束，因此问题的关键是“函数间的四则运算”。作为高等数学基本研究对象的初等函数，是由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和复合而得到的函数。可见在初等函数范围内利用已知函数构造函数的基本方法有两种，一为“四则运算”法，如y=ex+sinx是由已知函数u=ex和v=sinx通过相加构成的；二为“复合”法，如y=esinx是由已知函数y=eu，u=sinx复合构成的。两种方法在构造函数方面呈双元状态，既相互独立又有一定的关系。独立是指可单独使用，关系是指可综合使用两种方法。更多的初等函数是交叉使用“复合”和“四则运算”两种方法构成的。因此在分析函数的复合过程中出现了函数间的四则运算应视为复合过程的结束，复合的链条就此中断，接续的是四则运算构成过程。如y=e(x+1)3+sin(x2+1)由y=eu，u=(x+1)3+sin(x2+1)复合而成，u=(x+1)3+sin(x2+1)由v=(x+1)3和w=sin(x2+1)相加构成。需要说明的是终结状态并未表明不存在复合过程，只不过所存在的复合过程已不是原函数的复合过程，而是一个新的函数的复合过程。如上例u=(x+1)3+sin(x2+1)仍存在复合过程，其中的w=sin(x2+1)是由w=sint，t=x2+1复合而成。然而这个过程是相对于函数w=sin(x2+1)而言的，是函数w=sin(x2+1)的构造过程(以下称一级过程)。相对于复合和四则运算两种方法而言，函数w=sin(x2+1)是作为一个独立的函数参与函数y=e(x+1)3+sin(x2+1)的构造过程的(以下称二级过程)。“一级过程”和“二级过程”是两个不同层次的构造过程，从级别上讲“一级过程”是较“二级过程”低一级的。“一级过程”的构造情况如何，对构造函数y=e(x+1)3+sin(x2+1)的“二级过程”没有影响，如y=ex+sinx和y=e(x+1)3+sin(x2+1)在构造过程方面是等同的，相同地使用了一次相加(w+v)和相同函数关系的一次复合(y=eu)。因此用出现函数间的四则运算作为终结状态情况之一是科学的。

3.2.实践性

事实上讨论函数的性质时，四则运算性质比较容易确定，而复合运算性质就不容易确定。如∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。∫f[g(x)]dx就没有一般的结论。所以用出现“四则运算”作为终结状态情况之一是符合实际的。

3.3.一种特殊情况

有些函数既可视为用复合法构成又可视为用四则运算法构成。如y=(x+1)2=x2+2x+1既可解释为由y=u2，u=x+1复合而成，又可解释为由u=x2，v=2x，w=1三个函数相加而成。这种函数，在分析函数构成时应视为是用四则运算法构成的，上面的两点讨论说明了这种观点的科学性和实践性。因此分解复合函数分到这种情况时应视为终结状态，没有必要再通过变形而继续分解。如求函数y=earctg(x2+1)+sin(x2+1)对自变量导数时，应将y=earctg(x2+1)+sin(x2+1)视为由y=eu，u=arctg(x2+1)+sin(x2+1)复合而成，而不视为由y=eu，u=arctgv+sinv，v=x2+1复合而成，因为在求时，可以使用四则运算法则=求得，而使用复合函数法则就没有实际意义。因此后一种分法就显得不具有决定性的方法上的意义。

[1]高等数学[M].四川大学出版社,2002.

[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社, 2001.1.

[3]何冬梅杨智明.关于“复合函数的分解准则”[J].《科技信息》2011年20期.

谭宝军（1960-），男，辽宁省辽阳人，辽宁铁道职业技术学院教务处工作，从事高等数学教学和教学管理工作。