立体几何题添加辅助线的思想方法探讨

刘顺清

【摘要】 立体几何在高中阶段重点培养学生空间想象能力，逻辑思维能力，转化，化归的能力。在历年的高考中有两到三道小题，必有一道解答题，以中档题为主，难度不大，虽然分值比重不是特别大，但是起着举足轻重的作用。

【关键词】 立体几何题 辅助线 思想方法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）07-079-02

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学好立体几何需要掌握一定的处理立体几何问题的基本思想和方法。而转化，化归的思想贯穿立体几何的始终。把立体几何问题化为平面几何问题，即立体问题平面化，它是解决立体几何问题的始终如一的原则。如异面直线所成的角，线面所成的角，二面角这三种空间角都是用平面定义的，在解决有关空间角的问题时，一般是将他们转化为平面角来处理，最终化归为解三角形。高三一轮复习的解题训练中，解立体几何问题通常有作、证、求三个环节。但是在高考中反映这方面的问题十分严重，不少考生对这三个环节交待不清，表达不够规范、严谨。尤其没找到添加辅助线的一般规律。下面就解立体几何中如何巧妙添加辅助线的思想方法作一下探讨。

解立体几何题添加辅助线有一定的规律性，结合平时的教学情况总结主要有如下几种情况：一是连中位线，二是连对角线或中线，三是做垂线。概括成口诀是：有的中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。下面就常见的三种情况加以说明。

一、方法之一添加平行线。

其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。

例1.把正方形ABCD，ABEF放置成如图所示的一个空间图形，M，N分别是AE，DB上的点，且AM=DN.

求证：MN∥平面EBC.

解析：过M作MM1⊥BE于M1，过N作NN1⊥BC于N1，连结M1N1，

则有MM1∥AB，且MM1AB=EMEA，NN1∥CD，且NN1CD=BNBD.

又AB∥CD，AB=CD，AM=DN，故MM1∥NN1，MM1=NN1，所以MN∥M1N1.

又MN 平面EBC，M1N1 平面EBC，

所以MN∥平面EBC.

点评：通过作平行线构造平行四边形来证线面平行。

点评：求异面直线所成角常采用平移法，把空间问题平面化，变成解三角形的问题。

二、方法之二向中心对称图形对称中心添加连线

对称中心是整个平面图形的几何中心，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形，矩形，正方形连对角线。

例3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。

（1）证明：PB∥平面ACM；

（2）证明：AD⊥平面PAC；

（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。

解析：（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O也为BD

的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO，因为PB 平面ACM

MO 平面ACM，所以PB∥平面ACM.

（2）因为∠ADC=45°，AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD所以PO⊥AD，而AC∩PO=O所以AD⊥平面PAC.

（3）取DO的中点N，连接MN，AN，

因为M为PD中点，所以MN∥PO，且MN=12PO=1.

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD.

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，

点评：通过连接平行四边形的对角线，连出中位线从而由线线平行证得线面平行，由平行线中的一条垂直于平面得到另一条也垂直平面。

三、方法之三添加垂线

立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。

例4.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

（1）求证：AD⊥PB；

（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论

解析：（1）如图，取AD中点G，连结PG，BG，BD.

∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A=60°，

AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

（2）连结CG，与DE相交于H点，易知H为CG的中点，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，易知F是PC的中点，

∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD，

故存在满足要求的点F为PC的中点。

点评：有了面面垂直及等腰三角形，顶底中点要连线，由线线垂直易证得线面垂直，从而有线线垂直。若用向量法也必须具备线面垂直的条件，所以所作辅助线为下一步建系创造了条件。

例5.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB 请证明你的结论；

（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值。

解析：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：

取AB的中点F，连结DP，PF，EF，则FP∥AC，FP=12AC.

取AC的中点M，连结EM，EC.∵AE=AC且∠EAC=60°，

∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC，∴四边形EMCD为矩形，

∴ED=MC=12AC.又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形.

∴DP∥EF，而EF 平面EAB，DP 平面EAB，∴DP∥平面EAB.

（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连结DG.

∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱。

∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，

∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥l.

又l⊥GC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，

∴∠DGC是所求二面角的平面角.

设AB=AC=AE=2a，则CD=3a，GC=2a，

∴GD=GC2+CD2=7a，

∴cosθ=cos∠DGC=GCGD=7）7.

点评：二面角的大小由平面角决定，因此构建二面角的平面角是传统方法求二面角的关键和解决问题的切入点和突破口，所以本题的第二问恰当的作出两个平面的公共棱，再向公共棱引垂线，构造三垂线定理的条件，从而找到二面角的平面角，转化成解三角形的问题。