解题教学：重在方法指导，旨在提升能力

◆詹高晟　陈冠文



解题教学：重在方法指导，旨在提升能力

◆詹高晟陈冠文

罗增儒教授认为“数学学习中真正发生数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动”。的确，学习数学离不开解题，解题既是对原有数学知识和技能的应用，又可保持并巩固相应知识的记忆，提高相应技能的熟练程度。学生通过解题还能提高和发展推理能力、化归能力、形式化处理问题的能力、分析和解决问题的能力。但在教学活动中，我们常常会遭遇这样的困扰：学生题目做了不少，教师也进行了认真讲评，有些题甚至做过多次、讲过多次，但学生还是一错再错，能力也没有得到明显提高。这显然与教师在解题教学中常常重做题轻指导的教学方式有关。在数学解题教学时，关键是要重视解题方法的指导，指导学生学会审题，学会检验，学会反思，引导学生形成良好的解题习惯，提高获取数学知识的能力。笔者结合自己的教学经历，谈谈数学解题教学中的点滴体会。

一、指导学生在开始解题时认真审题

学生在进行数学解题时，从看到题目到动笔解题之间有一个非常重要的过程，这个过程便是审题。审题是一种综合能力，是一种获取信息、分析信息、处理信息的能力，是解决问题的基础和先导。它需要以一定的知识水平为基础，更需要有良好的读题习惯、有效的思考方法为保证。在教学中常常遇到这样的情况，只要教师把题目再读一读，或者让学生重新做一次，学生就会做对，学生在自我分析时，总爱说上一句：“其实我会做，只是太粗心、太马虎。”其实，在粗心、马虎的背后暴露的正是学生审题能力的薄弱。因而，对于审题教学，教师要做有心人：不以题易而弃之，不以题难而代之，抓住每一道有思维价值的题目，不失时机地进行审题教学，让学生在潜移默化中形成良好的审题习惯，拓展学生的解题思路。

指导学生审题就是指导学生理清题目的条件，弄清题目已经告诉你什么，又要你去做什么。题目所给的条件信息有些是表层直观的，有些是隐蔽给出的，读题时要把它们全都找出来，并且弄清这些条件的数学意义。审题时，为了从中获取尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系，有时还要辅以图形或记号，以便更加直观地获取信息。

例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4。若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r应满足的条件是________。(答案：r＝2.4或3＜r≤4)

独立做题时，很多学生只写出答案r＝2.4，究其原因，学生因为审题能力弱，误认为条件是⊙C与直线AB只有一个公共点，所以认为直线AB与⊙C相切。认真审题，我们发现，题目给我们的直接信息是“⊙C与斜边AB(指的是线段AB)只有一个公共点”，其含义是：直线AB与⊙C的位置关系可能是相切(此时r＝2.4)；也可能是相交，但只有一个交点在线段AB上(此时3＜r≤4)。

学会读出题中的隐蔽信息可以减少题目漏解，确保解答的完整性。读题时，要引导学生根据题中条件或结论挖掘出隐含在字面背后的解题信息，必要时把文字表述转化为图形表达，利用图形的直观帮助学生理解题意，以便得到正解。如“抛物线与x轴有公共点”就要考虑是有一个公共点还是有两个公共点；“使得△ABC与△DEF相似”就要注意两个三角形各顶点间的对应关系是否存在多种情况，是否要分类讨论。

例2：如图1①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA＝4。

图1

(1)连接OD，当OD与半圆C相切时，求OD的长；

(2)略；

(3)过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图1②），设AP＝x，OE＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范值。

第(3)问中的“垂足E”可能落在线段OA上(即0＜x≤22时)，也可能落在线段OB上(即22＜x＜4 时)，可见点O恰好是“临界点”，此时点D的位置就是第(1)问时点D的位置，这是题目中的隐含信息。自主思考时，大部分学生只考虑了点E落在OA上这种情况。一个题目包含的信息有时是比较隐蔽的，甚至隐藏的很深，这就需要我们去发现、分析，这是解题的关键。

审题是解题的基础，是正确、迅速解题的前提。为此，在解题教学时，要引导学生注意审视题目的条件、结论，抓住关键字词，充分挖掘题目的表层和隐含信息，深入分析题目中各个量的特点、关系，全面掌握题目信息，为数学问题解决的后续活动提供启发。

二、指导学生在解题过程中复查检验

学生在解题过程中，难免出现各种各样的错误，因而教师在开展解题教学时，就要指导学生进行复查检验，检验自己的解题方法、计算结果是否正确。复查的时机选择上，可以根据解题情况进行选择，可以边解题边检验，也可以解题后再检验。复查检验时，应该指导学生从不同角度，不同侧面去探讨解题结果是否正确。掌握复查检验的方法，养成复查检验的习惯，对培养学生思维的灵活性、严密性有很大的促进作用，是学好数学的重要条件。

例3:已知某二次函数图象的顶点为A(-1，-4），且过点B(3，12)。

(1)求该二次函数的解析式；

(2)求该函数图象与x轴的交点坐标；

(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至A/，B/，求△OA/B/的面积。

本题由“顶点式”容易求得该二次函数的解析式为y=x2+2x-3。但结果是否正确？我们可以在求出函数解析式后将点A(-1，-4）、B(3，12)代入验算，也可以检查求解过程，确保准确后再求解第(2)、(3)两问。在解题过程中可能会出现错误，这需要我们在解题时边求解边复查，一步一检查，争取一次做到位，防止做无用功。

在前面的例2的第(3)问中，通过分析可以得到y 与x之间的函数关系式为：当0＜x≤22时，；当22＜x＜4时，。题目做得对不对？通过分析，我们知道：当点P在半圆C上运动，点D就在半圆O上运动，从而带动点E在直径AB上运动，点E的运动是“连续”的，由题中的第(1)问可知，x＝22是自变量x的“临界点”，把x＝22分别代入，得到的y值应该是一样的，如果不一样，则说明解题有错误。

解题中的复查检验，方法多种多样，重做一遍、变换方式解题、特殊值法等等，都是常用的查验方法，这些方法学生在平时的解题检验中已经自觉或不自觉地运用着。在解题教学时，教师要做的就是不断强化学生的解题复查意识，养成良好的检验习惯；并且针对不同类型的问题，指导学生选用正确的检验方法，确保解题结果正确无误，提高学习成绩。

三、指导学生在解题完成后进行题后反思

在数学解题教学中，如何引导学生通过对典型例题的求解，进而掌握一般的解题思路、常用的解题技能、技巧和基本数学思想，从而达到解一题破百题，提高学生解题效率的目的，这就需要指导学生在解题后进行反思。

图2

例4：如图2，点E为正方形ABCD边BC上一点，请在BD上确定一点P，使得PE+PC最短。

本题考察的知识点是线段垂直平分线的性质和基本事实“两点之间线段最短”，解题中渗透了化归转化思想，其基本数学模型是“将军饮马问题”。它反映了数学中的对称性问题，与四边形、圆、函数及实际生活有着非常紧密的联系，贯穿初中数学始终。应用它可以解决一组关于线段和的最小值问题。如果在该题的教学中就题论题，不进行题后反思，没有引导学生对解题方法进行总结，没有对用到的数学模型进行提炼，没有在解题后对原题进行引伸，该题的教学功能就得不到充分地发挥。在完成例4后，教师应引导学生进行适当延伸，安排以下题组：

图3

题1：如图3，菱形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。

图4

题2：如图4，⊙O的直径CD为4，点A在⊙︵O上，∠ACD＝30°，B为AD的中点，P为直径CD上的一动点，则PA+PB的最小值为______。

图5

题3：如图5，抛物线y=ax2+c经过点A（0，1），P（23，-3），点C为抛物线与x轴正半轴的交点，点M是抛物线对称轴上的动点，连MP，MC，试求MP+MC的最小值。

这组题目形异质同，实质都是“将军饮马问题”。解决此类问题，往往需要寻求与其中一条线段长度相等的线段，从而转化为两点之间线段最短问题。解题教学时，要引导学生在解题后进行反思，对题目进行适当延伸、拓展、变式，对所用到的基本方法、基本思想进行归纳提炼，促进学生思维向深度和广度发展。

练习时，很多同学写出的答案是“9”，教师分析讲评时，就要引导学生反思，自己为什么得出了“9”这个错误的答案，引起错误的根源是什么。通过反思，学生明白自己的错误有两个方面，一是误将用算术平方根表示的数81当成了数81进行求解；二是忽视了所求的平方根要有两个值，一正一负，而不只是一个正值。这就提醒学生求解时应审清题意，真正理解各种数学符号所表示的含义，然后再求解，避免出错。

解题后的反思，就是对解题经历的再认识，这其中包含着对“失误”的反省，也包含着对“成功”的琢磨。一个题目，如果是在同学、教师的辅导下解出来，要去反思自己解题时遇到的障碍在哪里，后来是怎么解决的，通过反思，使自己再经历一次调试与矫正的过程，增强识别错误、改正错误的能力。如果题目是自己解出来的，要认真回顾、思考解题中用到了哪些知识、哪些方法，自己是怎么想到它们的，可以将这个过程进行总结，变为自己的直接经验。指导学生进行题后反思，还要去思考是否还有其它解决方法，是否能用同样的方法来处理更一般性的问题，是否能对原题进行推广，是否能够减弱原题中的条件，是否可以对得到的结论进行加强……这样的思考不仅可以改进和完善眼前的解题，而且还能提炼出对以后解题有指导作用的信息。

总之，在数学解题教学中，应从学生的实际情况出发，引导学生掌握解题的一般方法，并进行归纳总结，以提高数学问题解决与数学思考的能力，从而使数学解题教学更高效。

责任编辑：周朝坤

作者单位：福建省三明市列东中学