变式教学法的教学案例实践与思考

章林芳

【摘要】变式教学是指运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。在数学高考复习中，通过变式教学，对一些典型习题进行变换、串联、延拓，是提高课堂教学质量，培养学生解题能力的有效途径。变式教学法给中学数学课堂带来勃勃的生机和活力，有利于激发学生的学习的兴趣、提高学生分析问题和解决问题的能力、培养学生思维品质及提高学生的综合素质，它也是培养学生创新精神和实践能力的重要途径，同时也是对教师教学能力的挑战。

【关键词】变式教学 实践 思考

一、前言

变式教学是指运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识的引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，而且在开发学生智力、发展学生思维，培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。在数学高考复习中，重视变式教学，搞好变式教学，适当实施变式教学，一定能对我们的数学高考复习起到事半功倍的作用，因此，变式教学势必会成为数学高考复习的一把金钥匙。

二、“高三复习课：含参不等式恒成立问题”教学设计

1.引入：含参不等式是近年来的高考活跃考点，考题灵活多变，此题能否顺利解决关乎整场考试的成败。今天来复习“含参不等式恒成立问题”。

【设计意图】激发学生学习兴趣及求知欲望。

2.展示问题，先练后评，共同析疑：

2.1【引例1】一次函数 恒成立，求 的取值范围。

分析：一次函数 在 上，要么是增函数，要么是减函数。所以有以下结论：一次函数 在区间 上恒成立，等价于 ；在区间 上小于0恒成立，等价于 。

因此，此例只要满足 ，故而 。

【设计意图】体验利用一次函数性质处理恒成立问题，为下面的学习打下基础。

【评注】本题是简单题，一次函数的知识点非常基础，同学们能很快得出答案。运用这个知识点结合主元变换的方法，可以化繁为简。

2.2【变式1】已知不等式 对于一切 都成立，求 的取值范围。

分析：上述不等式学生很容易陷入到以 （ ）为自变量的二次函数问题中去。这样的话要对对称轴进行讨论，非常繁琐。将一次函数恒成立问题结论与变换主元的方法相结合，可以把参数最高次数为一次的不等式的恒成立问题化归为为一次函数问题。

对于此例，将条件所给不等式左边部分看作一个以 为自变量，以 为参数的一次函数，那么问题就迎刃而解。

解：令

则有

不等式 对于一切 都成立，即 对一切 恒成立，则有：

解得： 。故所求 的取值范围是 。

【设计意图】：让学生进一步体会利用一次函数性质解决恒成立问题的关键，提高分析和解题能力。

以下兩个变式题都可用这种方法解决：

练习①：若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围。

（答案： ）

练习②：对于满足 的所有实数 ，求使不等式： 恒成立的 的取值范围。（答案： 或 ）

【评注】对于不等式： 来说，式子的左边貌似非常复杂，但是，如果仔细观察式子结构，把式子的左边化成我们所熟悉的一次函数，那么问题就容易多了。但是此类问题前提是参数次数是一次的，且参数的范围已知。但是实际情况中，参数范围经常是不确定的。

2.3【引例2】二次函数 在R上恒成立，求 的取值范围。

分析：对于二次函数 有如下结论：

对 恒成立 ， 对恒成立 ，因此，此例只要满足 即

【设计意图】让学生进一步掌握含参数恒成立问题的处理方法，并了解题型变化规律。当已知参数 的取值范围，则求变量 的取值范围；当已知 的范围，则求参数 的范围。让学生学会自编自变自理。这两种情况即有联系又有区别。

2.4【变式2】已知不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围。

解析：对此分式不等式，由于分母 对 恒成立，所以可将它转化为整式不等式。

解：将不等式 转化为 整理得： 。

（1）当 时，上述不等式显然恒成立。

（2）当 时，必有 ，解得： 。

综上所述得 的取值范围： 。

总而言之，求解含参数不等式恒成立求参数的取值范围的问题的方法有许多，如函数法，数形结合法、分离参数法、判别式法、分类讨论法等。这些方法各有优缺点，而高考时间有限，充分理解各种方法的优缺点并熟练应用才是决胜高考的关键。

【参考文献】

[1] 中学数学思想方法词典 沈呈民 人民教育出版社

[2]《解一类绝对值不等式恒成立问题的通法》 张久鹏 中学数学月刊 2010年第3期