从课本的一道图像问题谈起

浦叙德（特级教师）



从课本的一道图像问题谈起

浦叙德（特级教师）

苏科版八年级上册（第158页）有这样一个问题：

例题：根据图中的函数图像，说出x、y变化过程中的实际意义.

图1

【分析】x、y变化过程可以分为三个部分.

（1）当x从0增大到8时，y从0增大到2；

（2）当x从8增大到14时，y的值不变；

（3）当x从14增大到24时，y从2减小到0.

如果给x、y这两个变量以某种实际意义，那这个图像就可以表示某种实际的变化过程.

解：设x表示时间（min），y表示路程（km），则图的实际意义可以是：小明以250 m/min的速度匀速骑自行车8 min到达某地；在该地休息了6 min；然后以200 m/min的速度匀速骑自行车10 min返回出发地.

课本中的这一问题是看图“讲故事”，即赋予“函数图像”以某种实际意义（不唯一），有利于同学们学会“读”函数图像，更好地感悟数与形的内在联系，更深刻地感悟模型思想.

变式1（2015·浙江义乌）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中.小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图像如图2所示.请根据图像回答下列问题：

（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？

（2）小敏几点几分到家？

图2

【分析】本题属图像分析问题，考查对图像的识别、分析能力.图像中的三条线段体现了分段函数.

解：（1）3000÷10=300米/分，逗留时间为30分钟.

（2）设回家时y与x的函数关系是y= kx+b，代入（40，3000），（45，2000）可得：

于是y=-200x+11 000，当y=0时，x=55.

答：返回到家时间为8：55.

【点评】此题考查了函数图像与实际问题的结合，根据已知图像得出正确信息是解题关键.

变式2（2015·江西南昌）在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图3所示，能否用函数关系式表示这段记录？

图3

【分析】根据所给图像及函数图像的增减性，本题要分三种情况进行讨论.电脑记录提供了赛车时间t（s）与赛车速度v（m/s）之间的关系，在10 s内，赛车的速度从0增加到7.5 m/s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响.

解：观察图像可知.

当t在0～1 s时，速度v与时间t是正比例函数关系，v=7.5t（0≤t≤1）.

当t在1～8 s时，速度v保持不变，

v=7.5（1＜t≤8）；

当t在8～10 s时，速度v与时间t是一次函数关系，设一次函数为v=kt+b（k≠0），又一次函数图像过（8，7.5）和（10，0），

∴v=-3.75t+37.5（8＜t≤10）.

【点评】待定系数法的做法是，在函数上找出一个或两个点，代入设好的函数式，面对三段图像，各个击破是常用的方法.

变式3（2014·浙江）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图4中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题.

图4

（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为______分钟，小聪返回学校的速度为______千米/分钟；

（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；

（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

（2）由图像可知，s是t的正比例函数，设所求函数的解析式为s=kt（k≠0），将（45，4）代入得4=45k，解得k=.

（3）由图像可知，在30≤t≤45的时段内，小聪离开学校的路程s是t的一次函数，设函数解析式为s=mt+n（m≠0），将（30，4），（45，0）代入得解得

即当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.

【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用、待定系数法求一次函数的解析式的运用、一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键.

由上面的例子可以看出，一次函数题型丰富，但都是有规律可循的，通过对课本问题的理解和掌握，在解题的过程中仔细审题，抓住一次函数的本质，灵活运用数形结合的思想，考场上才能做到以不变应万变，从容答题.

（作者单位：江苏省无锡市新城中学）