一道课本例题及其变式的研究

杨　林



一道课本例题及其变式的研究

杨林

一、例题呈现

如图1，点B、点C在x轴上，试在第一象限内画等腰三角形ABC，使它底边为BC，面积为10，并写出△ABC各顶点的坐标.（苏科版八（上）第123页例3）

图1

【解析】点B、C的坐标分别为B（1，0），C（5，0），BC=4.根据题意，可知等腰△ABC 的BC边上的高为5，所以点A的纵坐标为5，点A在BC的垂直平分线上，所以其横坐标为3，即A（3，5）.在第一象限内画出△ABC（如图2）.

图2

二、变式研究

变式1如图1，点B、C在x轴上，试在第一象限内画等腰直角三角形ABC，并求出A点坐标.

【解析】由原题解析知BC=4，若∠ABC= 90°，如图3，则AB=BC.所以A（1，4）；若∠BCA=90°，BC=AC，如图4，所以A（5，4）；若∠BAC=90°，如图5，则AB=AC，过点A 作AD⊥BC于点D，则AD=BD=CD=2，所以A（3，2）.

图3

图4

图5

说明：由于题目所求等腰直角三角形未指明斜边、直角边或直角顶点，所以必须分情况讨论，画出所有可能情况.

变式2如图6，已知，点A、点B在x轴上，试在y轴上确定点C，使∠ACB=90°.

图6

【解析】点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（4，0），且AB=5.设OC=x.

由∠AOC=∠BOC=90°，

根据勾股定理可得：

在Rt△AOC中：OA2+OC2=AC2，即x2+ 1=AC2.

在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2，即x2+ 16=BC2.

在Rt△ACB中：AC2+BC2=AB2，即x2+ 1+x2+16=25，解得：x=±2.

所以C（0，2），C′（0，-2）.

说明：因为不知道点C的确切位置，所以要考虑点C的所有可能情况，防止漏解.

变式3正方形OABC如图7所示，O为坐标原点.若点A（3，-1），试求点C的坐标.

图7

【解析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E.

由题意可知：AD=3，OD=1.

∵∠ADO=∠CEO=90°，∠AOC=90°，

∴∠DAO+∠DOA=90°，

∠COE+∠DOA=90°，

∴∠EOC=∠DAO.

又∵OC=OA，∴△OEC≌△ADO，

∴OE=AD=3，CE=OD=1，

∴C（1，3）.

说明：解决此题的关键是要掌握由点找坐标的方法，再借助正方形的特殊性，利用全等三角形的知识求解.

变式4点A、B的位置如图8，若点A（-2，1）、B（-2，-1）、P（4，3）.

①用尺规作图的方法找到A、B所在平面直角坐标系中原点O的位置.

②若点C坐标为（1，2），试在图中标出点C的位置.

图8

【解析】观察A、B两点的坐标发现：它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以AB的垂直平分线即为x轴所在直线，垂足M点的坐标为（-2，0），又由于P点在A、B的右边，所以向右方向为正方向，则M点的位置向右平移两个单位即为原点位置，如图9.

图9

【拓展】若点A的坐标不变，点B坐标改为（-2，-3），你还能确定原点的位置吗？有兴趣的同学不妨试一试.

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）