重视错误研究，助力小学数学教学

毕波

这两年，笔者一直尝试在“小学生数学错误”方面做一些研究工作。最初产生这样想法是基于初次教的一届学生，他们学到某一部分内容时，一些共性的数学错误总会出现。当这些熟悉的错误再次“袭来”时，笔者作为一名小学数学老师，经常陷入迷茫和“亡羊补牢”。此时笔者有些后悔，为什么当初没有将这些错误及时记录下来？为什么教了这么多年书，却依然不能对这些“老”错误有很好的应对办法。

于是，笔者把学生作业中的错误用相机拍下来，组织学生开展错题收集活动，在课堂教学中加入错例分享活动……当这些行为逐渐成为笔者的一种工作习惯时，笔者越发喜欢上了“错误研究”，因为研究这些“错误”，不仅帮助了一位数学老师提升专业素质，也帮助了学生提升学习数学的能力。下面谈一谈笔者在进行“错误研究”过程中的三点感受。

一、用好数学“错题本”，让收集错题成为学生学习的一种习惯

开展错误研究，首先要有丰富的错误样本。教师可以通过拍照的方式获取这些错误例子。对于学生而言，最直接的方式则是建立数学“错题本”。一次完整的错题收集作业呈现在本子上的内容主要包括三个方面的内容（如图1）：（1）错题摘录——将出错的题目及错误的解题过程抄下来；（2）错因分析——对出现错误的原因进行陈述；（3）正确解答——写出此题正确的解答过程。另外，错题本中还可以记录一些经典题型、思路巧妙、综合性强的题目，只要是自己想记录、觉得需要记录的题目都可以写在错题本上。

对于错题本，教师需做到“三要”——要看、要评、要分享。

错题本虽然不需要像常规作业一样天天批改，但也需要教师经常性地进行审阅。通过审阅才能了解到学生收集错误的态度与质量，及时对学生在收集错误过程中出现的问题进行调整。比如，是否按时完成，是否存在“偷工减料”的行为。更重要的是，通过审阅错题本，教师可以从中选取到有价值的真实错例，比如学生中出现的共性错误，学生对某一个错误在分析时产生的偏差等。为后续的错题分享与评析提供第一手素材。

为了在学生中营造积极“纠错、评错”的良好氛围，对在错题收集过程中表现积极、作业质量优秀的学生，教师要给予充分肯定，并通过优秀作业展示等方式在学生中树立好的榜样。在活动初期，教师对学生的要求应视能力分层要求，对能力较弱的学生要进行个别指导，让他们了解错题收集的方式和完成基本要求即可；对能力较强的孩子则要提出更高的要求，对错误进行更加翔实的分析，还可以鼓励学生尝试模仿错题编制新题。通过教师的评价与指导，让更多的学生逐渐适应这样一种自主学习的方式。

从错题本中选取优秀的、有代表性的错例，邀请该名学生上台进行全班分享。通过这样的分享活动，既锻炼了学生的数学表达能力，又在学生中产生积极的学习互动。每个人收集的错题可能不一样，对同一个错题的理解也可能不一样，通过“错题分享”可以从别人身上学到更多对自己有用的东西。学生往往更喜欢这种来自于同伴的学习资源。教师则利用这样一些良好的学习活动作为自己后续教学的切入点，引导学生从评错开始，逐步走向学习内容的深入。

经过一段时间的持续关注与精心组织，学生能够逐渐找到错题收集的乐趣，对于错题的分析也会“渐入佳境”，越来越具体，越来越深刻。数学学习的本质是学生获取数学知识、形成数学技能和能力的一种思维活动。当收集错题成为学生学习数学的一种习惯，也就有助于学生反思意识的培养，有助于学生更多地用“思考”来学习数学。

二、分析错误产生的原因，帮助教师进一步“读懂学生”

当错误样本被大量收集过来之后，教师首先要对这些错误进行分类和整理，建议用电子文件的方式存储，在给文件命名时进行简单的内容描述，以便后期的调取。对于需要拿到学生面前进行交流的错误，应该慎重对待，交流之前一定要对错误进行认真的分析。如果是数学错误，教师需要从多方面分析学生犯错误的原因。找准了错误产生的真正原因，才可以为后续的纠正错误找到合理的切入口。

比如，关于学生计算上的错误。一些教师往往会用粗心、计算态度不端正来进行评价。但是，是不是计算时只要学生认真了、态度端正了，计算上的错误就能避免呢？显然，这样的观念是不正确的。产生计算错误的原因除了粗心、态度不端正这样的非智力因素外，对计算方法的准确应用、对计算道理的准确理解往往是产生计算错误真正的原因。如图2这个计算错误，学生的每一步计算的结果都是正确的，但是在计算的步骤上却出现了错误，将8乘百位上的4的结果32分别写到了万位和千位上。进一步分析，算法上的错误往往是因为对算理的不理解。试想，如果学生能明白：8乘百位上的4得到的32，表示的是32个百即为“3200”，相信也就不会出现这样的错误了。

值得特别强调的是，对于学生数学错误原因的分析和诊断，必须建立在从学生的角度出发的基础之上，教师要想办法了解学生真实的思维过程，明确学生真正的困难所在。当教师对于学生的思考路径、产生困难的地方无法做出准确判断时，最直接的方式可以找出错的学生进行面对面的访谈。在对话中了解到学生真实的想法。

比如，在三年级学习小数的计算过程中，有学生出现这样的计算错误（如图3）：

十分位上的2是如何算出来的？起初老师也百思不得其解，后来找来这位同学询问，才明白原来她是受到了前面学习时间计算的影响，从个位借1当了60（1时=60分），用73（13+60）减去44算出了29。因为学生还没有学习小数的计数单位，所以教师在明白了学生错误的想法之后，引导学生借助元、角、分理解算理，如果以元作单位，9.13表示9元1角3分，5.44表示5元4角4分。1元=10角，1角=10分，所以应该退1元当10角。学生明白了这个道理，这样的错误也就不再出现了。

郑毓信说：“如果我们并不真正了解学生在数学学习过程中的思维活动，相应的教学理论就不能说具有坚实的理论基础。正是关于学习过程中思维活动的深入研究导致了教育思想的根本性变革。”数学错误的分析与诊断活动正是基于学生认识的一种有意义的教学活动。新课程改革突出强调了“义务教育阶段的数学课程不但要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律”。教师的备课不仅要备教材，更重要的是备学生，了解学生的思维活动。学生在学习过程中犯错是其对数学知识不断理解和建构的必经过程。数学错误的分析能够帮助老师在分析和理解教学内容的过程中主动倾向对学生思维的了解，帮助教师进一步“读懂学生”。

三、重视评错效果跟踪，让教师的教更适应学生的学

通过对学生错误的分析，可以暴露错误思维的过程，特别是可以把学生走过的弯路以及犯错误的过程毫不掩饰地暴露出来，为采取多种方法改错提供前提保证。错题在进行分享评议之后，教师还要注意后续效果的跟踪。这一点往往被许多教师所忽略。有些老师认为自己上课时既然已经讲解了这个错误，学生就应该理解了，不会出错了。但是事实是，学生对于知识的接受能力是有差异的，对同一个错误的理解也是有差异的，在进行评错的过程中还会受到诸多非智力因素，比如听讲习惯、情绪波动等的影响。即使学生们都很认真地参与了学习，但是教师的教学方式是否适应学生的理解，是否真正能够帮助学生理清思路，在认识到错误原因的基础之上有效地改错，形成自身稳定的知识与能力。这些，只有通过后续效果的跟踪才能了解到。

最初的评错，多数学生把错误原因归结为审题不清，题目的要求是画出长方体的另外四个面，而不是把长方体画完整。接下来，学生也介绍了完成此题的方法与过程。有学生说：有两个面和这两个面是完全一样的，另外的四个面分别是6㎝×4㎝的两个和3㎝×3㎝的两个。还有学生说：通过画好的两个面，可以看出，这个长方体的长、宽、高分别是6㎝、4㎝和3㎝，画的时候只需要选取任意两个数相乘即可。

虽然题目的呈现方式发生了变化，但是我觉得此题所考查的内容与上面一个错例是相同的，都需要学生运用对长方体面的特点的认识，借助一定的空间想象能力和对数据的观察能力还原、补充这个长方体完整的表象。同样是一道难度较大，具有一定数学思考含量的题。随后我对这道题的完成情况进行了统计，结果是仍有14名学生在这道题上出错，占到了全班人数的26.4%。随机访谈5位选择正确的学生，3位学生是根据数据特点进行选择，只有2位学生能够结合长方体面的特征进行描述和选择。这说明，学生并没有真正理解这道（类）题的“来龙去脉”。此题需要学生掌握长方体面的特征并具备一定的空间想象能力。从对此题完成效果的数据统计中，我意识到第一个错例在评议时可能只注意到优等生简洁思维的呈现，而忽视了此类题的本质，即对长方体面的特点的把握和学生空间想象能力的考查。空间观念的提升仅依靠分析数据是不够的，随着题目难度的增加，数据的排布更需要依靠空间表象来理解。于是，我尝试进行了第二次评错。

师：长方体的6个面有着怎样的特点？

（出示长方体展开图，说一说长度上有着怎样的特点，为什么具有这样的特点？）

师：现在这里已经画好了4个面（指第2个错例），你能将它们组合在一起吗？

师：4个面已经组合好了，那么剩下的两个面应该是几×几的呢？

（展示学生作品：）

师：再想象一下，把你画的这个展开图折叠起来，能围成长方体吗？围成一个怎样的长方体？

师：下面的三组数据，应该选择哪一组呢？请结合刚才画图的过程说一说你的想法。

过了3天，我又给学生编制了一道类似的新题交给学生完成。完成情况非常好，更加值得欣慰的是，学生能够借助直观图来帮助自己理解，思路清晰准确。由此例可见，即使找准了错误的原因也不一定能够找到消除错误的有效办法。通过评错效果的跟踪，能够帮助教师对自己的教学效果进行判断，引发教师去不断思考、不断尝试不同的教学方式和手段，从而找到真正适应学生学的有效教学方式。

全班性的评错效果跟踪与调整在一定程度上能够帮助到大多数学生，但是由于学生能力的差异，教师还应适当安排对个别学生的评错效果跟踪，以点带面，了解到学生真实认知情况。这样做不仅能够帮助到教师个别跟踪的对象，其实对于教师了解更多学生学习数学的状态也是很有帮助的。对于错误的订正不能操之过急。由于学生不同，错误的原因也可能有所差别。因此，对于学生错误的纠正可能需要区别对待，教师要有效地针对学生的错误原因对学生加以引导。在不断调整与适应的过程中，可以帮助教师更准确地认识到学生错误的思维过程，找到适应学生理解的学习方式与方法，对于教师不断改进自己的教学使之更贴近学生的学起到很好的指导作用。

在纠错与效果的尝试与跟踪的过程中，笔者也感觉到，看似相对独立的一个个错误，其实也会有着许多内在的联系。在进行错误研究的过程中，如果能够进行系统、类型化的整理与分析，对于教师后续教学的指导意义将更大。

比如，通过对大量关于简算错误的分析，会发现很多时候由于小学生的视、听知觉的选择性，所接受信息的强弱程度影响他们的思考。强化了的信息在学生的头脑中留下深刻的印象，有时会起到负干扰的作用。如下面的三题：

如果教师明白了这一点，在组织简算教学过程中，可以有意识增加此类习题的辨别，即使出现了这样的错误，也能用理性的态度和更加宽容的心态看待和处理，帮助学生逐步提高强信息负干扰的抗扰能力。

作为一名小学数学教师，如果不对学生的错误充分讲解，仅简单告诉学生正确的答案，这是低水平阶段。如果教师对学生出现的错误透彻讲解，并分析原因，比较注重学生的学习过程。但是教师这样的行为只处于间断状态，也就是碰到一个错误解决一个错误，这仅仅是合格水平阶段。如果教师处理错误不仅遇到一个解决一个，还有意识地把这种间断行为变成连续行为，不断积累学生的错误案例，拥有自己的错误案例资源库。还可以在适当时，为学生创设错误情境，利用错误案例进行有效教学，这是高水平阶段。

有一首诗这样写道：年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。其实也可以隐喻错误与学生的某种关系。虽然，每一届的学生不一样，但是由于处在同一学段的学生在年龄特点、认知规律、生活与学习经验等方面的相似，所产生的错误也一定是具有相似性的，是可以按一定的预期方式产生的。如果教师和学生能够主动地去认识错误，了解错误产生的原因，并对其加以利用，错误就会变成教师和学生学习的有效资源。如果教师能够基于错误分析有意识去设计相应的应对策略并通过不断的效果跟踪使之不断成熟，无疑对教师的教学工作能起到很明显的助力作用。

（作者单位：江西省九江市双峰小学）

责任编辑：宋显庆

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