发现隐形圆_参考网

发现隐形圆

2016-06-24刘志

考试周刊 2016年45期

刘志

在电影《哈利·波特》中，只要穿上隐形斗篷，就会消失得无影无踪.在数学中，有一个图形就像披上隐形斗篷一样，很难被发现.当一条线段、三角形或四边形运动时，其中的某点随之运动，它的路径可能形成一个圆（或圆的一部分）.在近两年各地的中考试卷中，有一些运动变化的好题，在所给的图形中并没有画出圆，但是在思考分析问题中，如果能发现某个点的运动路径是一个圆，可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起到重要作用.

引例.（2015·浙江滨州）如图，在直角<0的内部有一滑动杆AB.当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动.如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）

A.直线的一部分 B.圆的一部分

C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

【分析】如图1，根据题意和图形可知△AOB始终是直角三角形，点C为斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知OC始终等于AB的一半，O点为定点，OC为定长，所以它始终是圆的一部分.故选B.

从这个问题可以发现，当一个点在运动变化中，如果始终到一个定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆.

一、借助于圆，求两点之间距离

例1.（2014·山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最小值.

【分析】（1）AE=DF，AE⊥DF.先证得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（2）、（3）显然成立.

（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，因此点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小.

【略解】前面3个小题省略.

（4）如图2：

由于点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△ODC中，OC= = = ，

∴CP=OC-OP= -1.

【点评】在这个问题中，E、F两点运动——直线AE、DF运动——直线AE、DF的交点P运动，发现点P的运动路径是一段圆弧，即点P在点D到O之间的圆弧上运动，根据两点之间距离最短，连接CQ交圆弧于P，此时CP最小.从中进一步可以发现，如果点P在运动中始终保持∠APB=90°，那么点P的路径是一段以AB为直径的圆弧.

二、借助于圆，求点到直线的距离

例2.（2015·广东梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD E ，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 与CE 的交点为P.

（1）如图3，当α=90°时，线段BD 的长等于？摇？摇？摇？摇，线段CE 的长等于？摇？摇？摇？摇（直接填写结果）.

（2）如图4，当α=135°时，求证：BD =CE ，且BD ⊥CE .

（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为？摇？摇？摇？摇；②点P到AB所在直线的距离的最大值为？摇？摇？摇？摇.（直接填写结果）

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD 的长和CE 的长.

（2）根据旋转的性质得出，∠D AB=∠E AC=135°，进而求出△D AB≌△E AC（SAS），即可得出答案.

（3）①直接利用直角三角形的性质得出PM= BC得出答案即可；

②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D ，E 在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD 所在直线与⊙A相切时，直线BD 与CE 的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD PE 是正方形，进而求出PG的长.

【略解】

（3）解：①如图5，∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，

∴PM= BC，