具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精确能观性

王　维，张永华，梁向前

(1.山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590；2.山东科技大学 信息科学与工程学院，山东 青岛 266590)

具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精确能观性

王维1，张永华2，梁向前1

(1.山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590；2.山东科技大学 信息科学与工程学院，山东 青岛 266590)

摘要：本文研究了具有多噪声的马尔科夫(Markov)跳变随机系统的精确能观性问题，利用H-表示和谱算子的方法以及伊藤公式，建立了马尔科夫跳变随机系统的系数矩阵和确定性系统的系数矩阵之间的关系，将随机系统的精确能观性转化为确定性系统的完全能观性，从而得到了离散时间马尔科夫跳变随机系统的精确能观性的格拉姆矩阵判据(Gramian matrix criterion)。

关键词：精确能观性；H-表示；格拉姆矩阵判据

在现代控制理论中，能观性是控制问题中的一个基本而重要的特性。系统的能观性可以反映系统直接测量输入输出量的量测值以便确定系统状态的可能性。随着控制理论的发展，能观性对于控制和状态估计问题研究的作用越来越重要。马尔科夫(Markov)跳变系统有着广泛的实际应用背景，也是近年来控制领域热门的研究方向之一。

近年来，谱技术被成功的运用到线性随机系统的精确能观测问题中，Zhang等[1-2]用广义Lyapunov算子的方法给出了连续时间随机时不变系统的精确能观测的随机Popov-Belevitch-Hautus(PBH)判据，并将确定性系统的能观性问题推广到随机系统上，采用随机谱方法得到了判定精确能观性的PBH判据。Zhang等[3]研究了线性随机时变系统的精确能观性，给出了判定连续时间和离散时间的精确能观性的格拉姆矩阵判据和秩判据。由于马尔科夫跳变系统能被应用到自然和工程中，因此该类系统也已经得到了广泛的研究。Hou等[4]研究了离散时间马尔科夫跳变参数和乘积噪声随机系统的精确能观性的PBH判据。Vasile等[5-6]研究了马尔科夫跳和多个白噪声的随机系统的稳定性和能稳性问题，给出了保证随机能稳性和随机能检测性的充要条件，得到了随机马尔科夫跳系统的一个有界实引理，并引入了随机能观性的定义，推广了确定性离散线性时变系统的一致能观性的定义。Costa等[7]引入了连续时间马尔科夫跳变系统的MS-稳定性和W-能观性的定义，利用能观性矩阵得到了W-能观性的检验条件。Ma等[8-9]研究了带乘积噪声的离散时间随机马尔科夫跳变系统的有限时域和无限时域的H2/H∞控制。

本文找到了一个判别具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精确能观性的方法，即利用文献[10]中去掉重复元素的H-表示方法，将马尔科夫跳变随机系统的精确能观性转化为确定性系统的完全能观性问题，给出了具有多噪声的离散时间马尔科夫跳变随机系统精确能观的充分必要条件——格拉姆矩阵判据(Gramianmatrixcriterion)。

在给定的概率空间(Ω,Fk,P)中，考虑以下形式的具有多噪声的离散时间马尔科夫跳变随机系统：

(1)

而且，矩阵Xi(k),Yi(k)满足下面的方程。

证明由前面的假设，即x(k)x(k)′和θ(k)都是Fk可测的，随机变量{wp(k),k∈NK}和马尔科夫链{θk,k∈NK}相互独立，由系统的状态空间描述(1)以及Xi(k)的定义，可得

Xi(k+1)=E[x(k+1)x(k+1)′I{θk+1=i}]=

并且

下面证明Yi(k)式，

Yi(k)=E[y(k)y(k)′I{θk=i}]=

因此，引理1得证。

对于系统(1)，定义算子L{A,C}，其表达式为

其中

[18][19]罗莎莉：《儒学与女性》，丁佳伟、曹秀娟译，南京：江苏人民出版社，2015年，第6、173-181页。

其中

Ψ(X(i))=(x11(i),…,x1n(i),…,xn1(i),…,xnn(i))′∈Rn2，

下面的定理推广了对于确定性离散时间随机系统的能观性格拉姆矩阵判据。

定理1具有多噪声的离散时间马尔科夫跳变随机系统(1)在时刻h∈Jk(Jk是一个离散时间定义的区间)精确能观的充分必要条件为存在一个有限时刻l∈Jk,l>h时，使得格拉姆矩阵

为非奇异，其中

证明由引理1，对k∈NK有

(2)

将式(2)两边同时拉直，结合引理2，并运用克罗内克积的性质以及H-表示方法，可得

其中

(3)

I为n2阶的单位矩阵。用同样方法，对Y(k)进行上述变换，可得

其中

(4)

因此，结合式(3)(4)，系统(1)就等价于下面的确定性系统

(5)

所以当系统(5)满足完全能观性时，系统(1)就满足精确能观性。由系统(5)满足精确能观性的格拉姆矩阵判据[12]可知，存在一个时刻h∈Jk,l>h，使系统(5)的格拉姆矩阵

非奇异。定理得证。

推论1离散时间马尔科夫跳变随机系统

精确能观的充分必要条件为存在一个时刻l>0，使得格拉姆矩阵

为非奇异，其中

通过这种方法，我们就把马尔科夫跳变随机系统的精确能观性转化为确定系统的完全能观性。这种方法在马尔科夫跳变系统与线性时变系统之间建立了有效的桥梁。

在实际应用中，多维系统是很常见的，相关的计算也都可以借助Matlab软件编程完成。为了能直观说明格拉姆矩阵判据的可应用性，本文经过大量反复验证，找到一个非常典型的二维例子来说明定理的有效性。

系数矩阵Aθ(k)，Cθ(k)，Qθ(k)和Dθ(k)分别为

其中

经过设计Matlab循环程序得，直到当l=1的时候，格拉姆矩阵

非奇异，得到此系统是精确能观的。

本文利用H-表示方法，找到了具有多噪声的离散时间马尔科夫跳变随机系统和确定性系统系数之间的关系，进而得到了马尔科夫跳变随机系统的精确能观性和确定系统的完全能观性之间的等价关系。同时，论文也给出了一个推论，使得能观性格拉姆矩阵判据的形式简单，更为方便实用。

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(责任编辑：傅游)

ExactObservabilityofMarkovJumpStochasticSystemswithMultiplicativeNoise

WANGWei1,ZHANGYonghua2,LIANGXiangqian1

(1.CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China; 2.CollegeofInformationScienceandEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China)

Abstract:This paper studied the issue of exact observability of Markov jump stochastic systems with multiplicative noise. Using H-representation, the method of spectral operator and formula, the relationship between the coefficient matrix of Markov jump stochastic systems and that of deterministic systems is established, and the exact observability of Markov jump stochastic systems is transformed into complete observability of deterministic systems. Finally, the Gramian matrix criterion of exact observability relating to discrete-time of Markov jump stochastic systems with multiplicative noise is obtained.

Key words:exact observability;H-representation; Gramian matrix criterion

收稿日期：2015-12-31

基金项目：国家自然科学基金项目(61402265)；山东科技大学群星计划项目(qx2013111)

作者简介：王维(1990—)，女，山东枣庄人，硕士研究生，主要从事随机控制及其应用研究.E-mail：wangwevi@163.com E-mail：liangxq87@126.com

中图分类号：O231

文献标志码：A

文章编号：1672-3767(2016)03-0099-07

梁向前(1969—)，河南伊川人，副教授，博士，主要从事复分析、计算机密码学研究，本文通信作者.