基于最大Lyapunov指数的无刷双馈电机混沌现象分析*

陈集思，　杨俊华，　林卓胜，　吴　捷

(1. 广东工业大学 自动化学院，广东 广州　510006；2. 华南理工大学 电力学院，广东 广州　510641)

基于最大Lyapunov指数的无刷双馈电机混沌现象分析*

陈集思1，杨俊华1，林卓胜1，吴捷2

(1. 广东工业大学 自动化学院，广东 广州510006；2. 华南理工大学 电力学院，广东 广州510641)

摘要：从混沌机理研究角度，采用数值仿真方法计算最大Lyapunov指数，分析并验证了无刷双馈电机中存在的混沌现象。基于无刷双馈电机d-q轴数学模型，导出非线性微分方程；以转子运动时间常数的倒数为电机系统的控制参量，根据实际电机参数构建无刷双馈电机的混沌模型；通过计算混沌模型的最大Lyapunov指数，分析电机出现混沌现象时所对应的参数范围。采用MATLAB建模仿真，论证了无刷双馈电机进入混沌运动状态时的参数条件。

关键词：无刷双馈电机； 混沌运动； 数值仿真； 最大Lyapunov指数； 混沌吸引子

0引言

无刷双馈电机(Brushless Doubly-Fed Machine， BDFM)是一种异步化的交流励磁同步电机，定子上有功率和控制两套绕组，结构上，与绕线式异步电机的定、转子绕组有相似之处[1]。由于其高可靠性和低维护成本，在恶劣的风电场环境下呈现出明显优势。近些年来，关于BDFM的本体研究和控制策略研究方兴未艾，标量控制[2]、矢量控制[3]、直接转矩控制[4]等控制策略获得了较多关注。虽然电机控制策略不断优化改进，但电机在实际运行中仍然存在着不规则运动，如不规则电磁噪声、不规则转矩、转速间歇振荡等问题[5]。随着对电机系统认知的不断提高，发现电机运行中出现的种种不规则运动非常类似于非线性系统的混沌现象。

继相对论和量子力学之后，混沌学被称为20世纪科学界中又一伟大理论成果，不同于平衡点、周期解、次谐波解和准周期解等行为，混沌是一种随机但有界的稳态行为[6]。Li-Yorke于1975年在“周期三意味着混沌”一文中最早提出混沌概念[7]，文章以数学的严格性分析了任何一维系统中，只要出现规则的周期三，则同一系统中必然会给出其他任意长的规则周期，以及完全混沌的循环。当然，不同文献中，混沌的主要特征表述不尽相同，但一般而言，混沌的主要特征包括：确定系统的内随机性、对初始条件的敏感性、具有正的李雅普诺夫(Lyapunov)指数等[8]。过去几十年，在电机等各个学科领域中开展了广泛的混沌研究，面对由电机本体、功率变换器和控制器等多个复杂系统构成的电机控制系统，混沌分析首先应从电机本体开始，而永磁同步电机混沌运动现象是当前国内外研究的主要热点。文献[9]首次将Lyapunov指数作为永磁同步电机混沌现象分析的理论依据，通过计算Lyapunov指数和容量维，验证了电机中混沌现象的存在。文献[10]导出了适于分岔和混沌分析的永磁同步电机数学模型，研究了电机系统稳态、极限环和混沌三种运动状态，通过仿真验证了永磁同步电机中存在混沌吸引子。文献[11]针对永磁同步电机在特定参数和工作条件下的混沌运动状态，构造非线性状态反馈逆系统，结合原系统实现了对参考给定输入的快速跟踪控制。其他如同步磁阻电机、无刷直流电机和双馈电机等也存在混沌现象，但相关研究不多。文献[12]给出了同步磁阻电机的混沌系统模型，为抑制电机在某些参数范围中出现的混沌运动状态，提出自适应控制策略。文献[13]提出了无刷直流电机开环系统中的混沌现象。文献[14]验证了双馈电机系统中也有混沌现象，并通过设计滑模控制器实现混沌系统同步。

目前，对BDFM系统混沌现象研究仍为空白，在某些特定参数条件下，BDFM会否和其他类型电机一样出现混沌现象？本文通过BDFMd-q轴数学模型导出电机系统的非线性微分方程，构建BDFM的七阶非自治系统，从混沌研究角度探讨BFDM中不规则运动发生机理，得到相关结论。

1BDFM的非线性微分模型

BDFM在转子速d-q轴同步坐标系中各绕组的电压方程为[15]

(1)

(2)

(3)

式中：udp、uqp、udc、uqc、udr、uqr——功率绕组、控制绕组和转子绕组的d、q轴电压分量；

idp、iqp、idc、iqc、idr、iqr——d、q轴电流；

ψdp、ψqp、ψdc、ψqc、ψdr、ψqr——d、q轴磁链；rp、rc、rr为等效电阻；

pp、pc——功率绕组和控制绕组的极对数；

ωr——转子转速。

在两相转子速d-q轴模型中，功率绕组、控制绕组和转子绕组的磁链方程为

(4)

(5)

(6)

式中：Lsp、Lsc——d-q坐标下定子各绕组自感；

Mrp、Mrc——定子绕组与转子绕组间互感。

BDFM在d-q坐标下的电磁转矩方程为

Te=Tep+Tec=ppMrp(iqpidr-idpiqr)+

pcMrc(iqcidr+idciqr)

(7)

式中：Te——总电磁转矩；

Tep、Tec——功率绕组、控制绕组产生的电磁转矩。

BDFM的机械运动方程可表示为

(8)

式中：J、D——转子机械惯量和转动阻尼系数；

TL——负载转矩。

将式(4)～式(6)代入(1)～式(3)可得

(9)

(10)

(11)

设Tr为转子运动时间常数，σ1、σ2、σ3为扩散系数。

(12)

(13)

令电机系统中的各状态变量[idp，iqp，idc，iqc，ψdr，ψqr，ωr]T=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]T，[udp，uqp，udc，uqc，udr，uqr，TL]T=[0，0，0，0，0，0，0]T。将式(6)、式(7)、式(9)～式(13)整理化简可得BDFM电机系统的一阶微分方程组

(14)

由式(14)可看出，BDFM电机系统具有多变量、非线性和强耦合的特点。方程组中各项变量的系数用矩阵形式可表示为

在式(14)中引入转子转速PD控制项：

令上式中ωref=0，可得

(15)

混沌运动是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态，但只有当系统参数处于某一范围时才会出现。定义转子运动时间常数Tr的倒数为电机系统中的控制参量k，假设Tr在某一范围内的变化会引起BDFM系统出现混沌现象。

Tr*=kTr

(16)

将式(15)、(16)代入式(14)中转子绕组的一阶微分方程组，可构建BDFM的七阶非自治系统：

(17)

2BDFM的混沌机理分析与仿真

BDFM定子上的功率和控制两套绕组磁场相互正交，需通过特殊结构的转子进行转换方能获得耦合。目前的无刷双馈电机转子结构大体分为笼型、磁阻型和变极绕线型三类，功率绕组和控制绕组所产生的旋转磁场方向是相反的，而转子只有一个和功率绕组旋转磁场方向一致的旋转方向。对转子而言，控制绕组的旋转磁场实质上相当于一个负序旋转磁场，转子中同样会产生一个相应的负序性质的电磁转矩，而且这一转矩在整个电机运转的过程中都存在，在电机运行状态变化时会有不确定转矩产生。

因为材料、制造装配原因，电机定转子间气隙不可能完全均匀，导致电机中会产生单边磁拉力。定转子电机齿槽的存在，若槽配合不理想也会产生齿谐波振荡转矩、不良电磁噪声和振动；如果振荡频率和电机固有频率发生重合，还会有谐振危险。

混沌机理研究，主要是通过严格的数学手段证明混沌的存在性，或采用数值手段及定性分析方法分析混沌特性[8]，但求解绝大多数非线性系统的非线性方程需有一定的数学技巧及丰富的先验知识，所以通过数学手段，一般很难获得非线性系统的解析解。目前，也只有Lorenz和Chua两个连续的混沌系统得到严格数学手段证明[16-17]，数值仿真成为研究混沌机理中广泛应用且有效可行的分析方法，包括计算Lyapunov指数、分岔图、平衡点分析和Poincare截面等。

混沌运动敏感于初始值，Lyapunov指数是对该现象的一个定量判断指标。它表征了系统在相空间中相邻轨线间发散(分离)的平均指数率，可定义为：

(18)

在三维以上的连续非线性系统中，其Lyapunov指数总存在一个负指数和零指数，系统是否存在正的Lyapunov指数是判断系统是否会出现混沌现象的特征之一。因此，在高维系统混沌特性的分析过程中，为降低计算的复杂性，无需逐一求出其全部Lyapunov指数，仅需求出系统的所有指数中的最大值即可。其计算原理如图1所示。图1中，x0、y0为相轨迹的初始值，d0为相轨迹间的初始距离。

图1　最大Lyapunov指数计算原理图

若最大Lyapunov指数小于0，即系统不存在正的Lyapunov指数，表明系统运动轨道局部稳定，对应周期运动；反之，若最大值大于零，则表明运动轨道局部不稳定，相邻轨道指数分离，此时轨道在整体性能的稳定因素(有界、耗散等)作用下拉伸并反复折叠，形成混沌吸引子，系统进入混沌运动状态。因此，最大Lyapunov指数为正可作为BDFM系统出现混沌行为的判据。李氏指数由负变正表明电机运动向混沌状态的转变。

根据图1，最大Lyapunov指数可定义为：

(19)

式中：m——积分次数；

τ——积分时间。

根据BDFM实际参数，取pp=3，pc=1，rp=1.732Ω，rc=1.079Ω，rr=0.473Ω，Lp=714.8mH，Lc=121.7mH，Lr=132.6mH，Mrp=242.1mH，Mrc=59.8mH，J=0.01kg·m2，D=0.1；并令kp=4，kd=40，TL=0，系统初值为[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]=[0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5]。将各参数代入式(17)，以式(19)为计算原理，在MATLAB平台上编写最大Lyapunov指数的求解程序，可得BDFM系统的最大Lyapunov指数谱，如图2所示。

图2　BDFM系统最大Lyapunov指数谱

由图2可知，参数k在[1.6,1.7]、[2.0,2.1]的变化范围中李氏指数由负变正，表明BDFM系统进入混沌运动状态。为了进一步分析和验证BDFM系统的混沌状态，取控制参量k=2.5，最大Lyapunov指数λmax=0.7518，采用四阶五阶的龙格-库塔算法，在MATLAB平台上求解其微分方程组(17)，分别得到BDFM功率绕组、控制绕组电流idp、iqp、idc、iqc和转子磁链ψdr、ψqr的混沌仿真波形，如图2所示。从图2中可以发现，各状态变量的波形显示出随机但有界的振荡，同时这些波形是非周期性的，具有明显的混沌特性。

图3　BDFM系统混沌动态响应仿真波形图

在状态空间中定性研究电机系统时，不仅可以刻划定、转子电流和磁链等每一状态量的具体轨道，而且需要刻划一切可能轨道的集合，弄清轨道的类型和分布，以整体把握电机动态系统的运动规律和特性。为此，在idp-iqp、idp-ψqr、idp-ω、ψqr-ω二维平面空间和iqp-ψqr-ω三维空间中观察各状态量的轨道集合，如图4所示。

图4　BDFM系统混沌吸引子相图

由图4可以看出，相邻轨道不断分离、靠近，经不断拉伸和折叠后形成混沌吸引子。拉伸特性导致了轨道运动的长期不可预测性，而折叠特性使得轨道运动有界，因此，相图中随机且有界的轨道集合表明在该参数条件下，BDFM系统进入了混沌运动状态。

4结语

本文根据BDFM转子速d-q轴数学模型推导出其非线性微分方程，加入转子转速控制项，以转子运动时间常数Tr的倒数为电机系统中的可变控制参量，构建BDFM的七阶非自治系统，通过数值仿真获得了电机系统的最大Lyapunov指数谱，确定了电机中发生混沌运动行为的参数范围，在二维平面和三维空间描述了电机系统的混沌吸引子相轨迹。仿真结果给出了实际验证。需加入控制器削弱或消除BDFM系统振荡，以达到期望的动态性能。

【参 考 文 献】

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Analysis of Chaos in Brushless Doubly-Fed Machine Base on the Maximal Lyapunov Exponent*

CHENJisi1,YANGJunhua1,LINZhuosheng1,WUJie2

(1. Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China;2. South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)

Abstract：The chaos phenomenon in the brushless doubly-fed machine(BDFM) was firstly analyzed and verified by calculating the maximal Lyapunov exponent with the numerical simulation method from the point of view of chaos mechanism. The nonlinear differential equations of BDFM were derived based on its d-q axis model. The chaos model of BDFM was constructed according to the actual machine parameters with regarding the reciprocal of rotor time constant as control parameter. The range of parameters was analyzed when the chaotic phenomenon emerged in BDFM by computing the maximal Lyapunov exponent of the chaos model. In Matlab environment, the parametric condition can be demonstrated as BDFM turn into chaotic motion state.

Key words：brushless doubly-fed machine; chaos; the numerical simulation method; the maximal Lyapunov exponent; chaotic attractor

*基金项目：国家自然科学基金资助项目(51307025,5177050,51407035);广东省高等学校科技创新项目(2013KJCX0059);广东高校优秀青年创新人才培养计划项目(2012LYM_0052;2013LYM_0019)

作者简介：陈集思(1991—)，男，硕士研究生，研究方向为电机电器及其控制。 杨俊华(1965—)，男，教授，博士，研究方向为电机电器及其控制、风力发电机组的设计与控制。

中图分类号：TM 301.3; TP 13

文献标志码：A

文章编号：1673-6540(2016)05- 0052- 07

收稿日期：2015-07-14