数学问题过程性变式的应用探索与思考

杨松

摘 要： “变式”是中国传统而有效的数学教学方法，它对学生数学知识的掌握和技能的形成有很大帮助。本文从变式理论角度探究初中数学过程性变式教学，探索变式教学对学习者的影响，了解过程性变式教学的适用范围，精心设计变式题，使数学中过程性变式的功能得到最大限度的发挥。

关键词： 变式教学 过程性变式 教学问题

一、过程性变式在数学教学中的界定

变式分为概念性变式和过程性变式。过程性变式的含义是在指数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生逐步形成概念、推演命题或解决问题，形成活动经验。这种教学方式并不是一种“机械训练”，而是促进有意义学习的教学手段。概念性变式关注的是数学学习对象静态的、整体的、相对稳定的内涵与外延特征，而过程性变式关注的是数学学习对象动态的、内在的、层次性递进的过程。

二、过程性变式的理论基础

（一）脚手架理论。

伍德等人曾用“脚手架”一词描述小孩成人指导下学习。布鲁纳将该理论应用于教学中，强调教师要搭建适当的“脚手架”，以促进学生“最近发展区”。过程性变式教学中的铺垫策略强调有层次地搭建适当台阶，帮助学生化解难点，逐步解决问题。

（二）建构主义理论。

建构主义的数学教学观认为，学习是学习者的主动建构，而不是被动接受。过程性变式教学重视知识的发生过程，把教学作为一个活动过程，通过体验、探索，扩充原有认知结构，建构新的认知结构。

（三）加涅的教学序列观点。

加涅的教学序列观点强调教学设计上要求：一是确定各分任务；二是保证各分任务的完成；三是设计一个完成任务的顺序。这与过程性变式教学中有层次地推进教学活动的观点不谋而合。

三、过程性变式在初中数学教学中的应用

通过过程性变式教学，使学生掌握知识的来龙去脉，在解决问题的过程中获取活动经验，逐步形成形式运算的认知结构。我从以下三方面谈谈过程性变式在教学中的应用。

（一）变式创设情境，体现概念的形成。

每个概念都有一个形成的过程，教师不能简单地将教材知识“复制”后再“粘贴”到学生头脑中，而应在具体问题中导入情境，逐步转化为抽象概念，这有助于概念的掌握。例如，常量和变量在一个过程中是相对存在的，学生较难理解。我在教学中围绕行程问题举三个例子：晚饭后小明和妈妈去散步，（1）如果他们匀速步行，速度V是常量，时间T和路程S是变量；（2）如果他们从家到学校，路程S是常量，速度V和时间T是变量；（3）如果他们步行30分钟，时间T是常量，路程S和速度V是变量。通过这些例子，让学生学会辩证地看问题。

（二）变式铺垫，解决问题。

数学问题解决的一条基本思路是“将未知问题化为已知问题，将复杂问题化为简单的问题”。但由于学生对未知问题的化归经验和能力有限，需要设置一系列过程性变式在已知和未知之间适当铺垫，作为化归台阶。例如，等腰三角形判定定理的证明思路不易形成，我做如下启发：（1）已知什么？需要求证的结论是什么？（2）要证明两条边相等，我们已经有了哪些经验？（3）为了构造以AB、AC为对应边的两个三角形全等，可怎样添辅助线？（4）作顶角的平分线AD能说明两个三角形全等吗？根据什么？在实际教学中，将复杂问题分解成一个个有序的问题串，即通过变式铺垫，帮助学生有层次地解决复杂问题。这隐含了加涅的序列教学观点和“脚手架”教学观。

（三）变式拓展，形成经验系统。

无论是关注概念的形成，还是铺设台阶解决问题，都是通过体验参与和有层次推进形成经验，不断丰富学生的认知系统。其中，丰富有效的经验对于认知系统的完善非常重要。变式活动是丰富学生数学经验的有效途径，我们可以在教学活动中经常提供以下机会丰富学生的数学学习。

1.一题多变

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度、不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化的情况积极思考，探索解决问题的办法，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换，等等。

例如：已知：C为线段AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形，求证：AN=BM.

探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等及特殊角、特殊图形吗？请给予证明。

探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其他条件不变，AN=BM成立吗？

探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其他条件不变，AN=BM成立吗？

探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其他条件不变，AN=BM成立吗？

探索五：A、B、C三点不在一条直线上时，△ACM和△BCN分别变为正方形ACME和正方形BCNF，其他条件不变，AN=BM成立吗？这样教学，不仅提高了学生运用知识的能力，而且发展了学生的求异思维。

2.一题多解

一题多解是对同一个数学问题在一定的知识和能力范围内给出不同的解决方法。这种变式的目的不是展示有多少种解题途径，而是发展数学思维，培养好的思维品质。这种变式教师平常使用较多，不再列举。

3.一法多用

一法多用指同一解题方法被用于包含不同知识点的问题的解决。这里的“法”是指具体的解题方法，而不是数学思想方法。以下习题属于不同知识点，但解法相同。例如：（1）已知线段AF上有B、C、D、E四个点，图中共有几条线段？（2）在∠AOF的内部引射线0B、OC、OD、OE，图中共有几个角？（0°<∠AOF<180°）（3）n条直线两两相交最多有几个交点？（4）凸n边形共有几条对角线？（5）参加研讨会的每个人见面时都要其他人握一次手，一共28次，那么有多少人参加会议？

四、如何培养数学问题的变式能力

著名的数学教育家波利亚形象地指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”教师培养学生思考、解决问题的目的是培养探索解决问题途径的能力和探索新事物的学习精神，那么如何培养学生针对旧问题而提出新问题（问题变式）的能力，笔者结合自己的教学实践从以下方面进行阐述。

（一）夯实基础，沟通联系。

数学基础知识、基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题、产生新问题的起点。要从知识发生的过程和学生认知的最近发展区来设计问题，不是将公式简单地告诉学生，而是通过设计开放性问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论并进行论证。

案例求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1：求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式2：求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。

变式3：求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连接什么四边形中点得到平行四边形？

变式5：顺次连接什么四边形中点得到矩形？

变式6：顺次连接什么四边形中点得到菱形等？

通过这样一系列变式，学生能充分掌握四边形的基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质和判定定理、三角形中位线定理等，拓展解题思路，激发兴趣。

（二）推陈出新，发展思维。

扎实的基础知识是形成创新意识的前提，教学中要使学生把握知识的产生“过程”，学生在具体在数学活动中表现出的基本特征是：流畅性，即能在短时间内表达较多的概念；变通性，即举一反三，触类旁通，能提出超常的设想或新观点；独创性，即对事物的处理或判断表现出独特的见解，推陈出新。

（三）掌握规律，形成技能。

数学问题的变式以问题为基础，与学生的思维水平相适应，对学生的思维素质要求较高，但仍有一定的方法技巧可循。要引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，把碰到的数学问题转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解，解中求变。

（四）数学问题变式设计应注意的问题。

根据教学需要，遵循学生的认知规律设计变式。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上转化为能力和技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，设计数学变式应注意以下几个问题：1、差异性。要强调一个“变”字，避免简单重复。变式的题组之间有明显的差异，学生既熟悉又新鲜，做到变中求“活”、求“新”、求“异”、求“广”。2.层次性。变式要有一定的难度才能激发学生的好奇心和求知欲。变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的“最近发展区”。3.开阔性。设计数学变式要内涵丰富，给学生留下充足的思维空间，，所选范例注意知识的横向联系和延伸性。4.灵活性。问题变式训练的方式要灵活多样，学生独立练习和教师启发引导相结合。同时，一个题目的变式有时可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。

总之，适当利用变式教学，会对数学知识网络的形成、能力的提高带来意想不到的效果，同时它也是新课程背景下“轻负高质”课堂教学的一种很好的教学手段。

参考文献：

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