考虑不确定参数的齿轮副非线性动态特性分析

魏　莎， 韩勤锴， 褚福磊

(清华大学 机械工程系，北京　100084)

考虑不确定参数的齿轮副非线性动态特性分析

魏莎， 韩勤锴， 褚福磊

(清华大学 机械工程系，北京100084)

摘要：为分析系统动力学参数的不确定性对齿轮副动态响应的影响情况，建立含齿侧间隙和时变啮合刚度的齿轮副动力学模型，并运用区间谐波平衡法分析了考虑区间系统参数的齿轮副非线性系统动态响应。区间谐波平衡法主要是将谐波平衡法与Chebyshev区间包含函数相结合，通过该方法对比分析了两种不同阻尼情况下的齿轮系统频域响应情况。结果表明：在弱阻尼(ζ≪)情况下，系统存在明显的非线性跳跃现象，而且系统频域响应对刚度参数和阻尼参数的波动性不敏感，而对激励参数和齿侧间隙的波动性敏感。而当ζ = 0.1时，系统响应的非线性跳跃现象消失，系统响应幅值降低。刚度参数、载荷参数和齿侧间隙的波动性对所分析区域内的系统响应均有明显影响。阻尼参数的波动性对系统响应的影响则集中于主共振区域。

关键词：齿轮；动态响应；谐波平衡法；Chebyshev包含函数；不确定参数

齿轮传动是最为常用的机构和机械传动装置，其在风电机组、汽车和船舶等机械设备中得到了广泛应用。齿轮系统的动力学性能好坏将直接影响这些机械设备的安全运行和可靠性，过量的振动将可能引起相关设备的疲劳损坏，缩短有效使用寿命。近些年来，国内外学者围绕考虑齿侧间隙和时变啮合刚度等因素的齿轮系统非线性振动问题进行了深入的研究[1-2]。然而，这些研究主要针对确定性参数下的系统动力学问题。实际上，在齿轮系统中，由于制造和安装误差或者运行磨损、润滑、外部工作环境等原因，使得系统的刚度、阻尼和载荷参数等存在一定程度的不确定性。正确地估计这些不确定性参数对系统动力学特性的影响情况，对于齿轮系统设计和可靠性分析具有非常重要的指导意义。处理不确定性问题的模型可以分为统计模型、区间模型和模糊模型，对应的分析方法有统计方法、区间方法和模糊方法。目前，考虑不确定参数的齿轮副非线性动力学问题主要采用统计类分析方法[3-14]。但是，统计类分析方法需要已知系统参数或激励的统计信息。这些信息往往需要大量样本实验，有时是很难获得甚至无法获得的。相比较而言，不确定参数的上下边界信息容易获取。区间模型主要用于处理这一类不确定性问题，其早期主要用于处理计算机浮点运算带来的数值计算问题[15]。近些年来，其在数值计算理论[16-17]和工程实践[18-21]等方面也得到较大发展。因此，本文考虑齿轮系统刚度、阻尼、齿侧间隙和载荷等参数的不确定性，将谐波平衡法与Chebyshev区间包含函数[22]相结合，用于分析这些不确定性参数对齿轮副非线性系统稳态响应的影响情况。

1系统模型及稳态响应分析

图1所示为一对齿轮副间隙非线性动力学模型，其中θ1和θ2分别为主、从动齿轮的扭转角位移，R1和R2分别为主、从动齿轮的基圆半径，I1和I2分别为主、从动齿轮的转动惯量，Tin和Tout分别为作用于主、从动齿轮的扭矩，k(t)、c和e(t)分别为轮齿啮合的时变刚度、阻尼系数和静态传递误差，2b为齿侧间隙。

图1　齿轮副非线性动力学模型Fig.1 Model of the gear-pair system

无量纲化之后的系统动力学分析模型[23]为

(1)

式中：x为无量纲化的齿轮传动误差；τ为无量纲时间；ζ为阻尼比；ψ(τ)为时变啮合刚度；g(x)为无量纲化的间隙非线性函数；F(τ)为系统所受激励。

时变啮合刚度ψ(τ)、无量纲化的间隙非线性函数g(x)和系统所受激励F(τ)可分别表示为

ψ(τ)=1+2εcos((Ωτ)

(2)

(3)

F(τ)=f0+f1cos(Ωτ+φ)

(4)

式中：ε为啮合刚度的一阶谐波分量与平均值之比；Ω为内部激励频率；f0,f1为激励的平均分量和波动分量；φ为激励的初相位。

式(1)的稳态响应解可通过谐波平衡法[23-24]推导得到，其简要计算过程如下：

令f(τ)=(1+2εcos(Ωτ))g(x)，并假设系统响应x(τ)和系统所受的啮合力f(τ)为Fourier级数展开的形式

(5)

(6)

式中：ak,bk分别为系统响应的余弦和正弦项Fourier系数；ck,dk分别为非线性函数的余弦和正弦项Fourier系数。

将式(5)和(6)代入动力学方程式(1)，忽略高次谐波项，同时令cos(kΩτ)和sin(kΩτ)的谐波系数分别相等，可得到如下代数方程组：

(7)

式中：

u=[a0,a1,b1,…,aR,bR]T

(8)

(9)

(10)

(11)

He=[f0,f1cosφ,-f1sinφ,0,…,0]T

(12)

随后，通过Newton-Raphson迭代方法求解该代数方程组可得到系统的稳态响应解。其迭代过程为

u(m)=u(m-1)-J(u(m-1))-1H(u(m-1))

(13)

图2　谐波平衡法和数值积分法的结果比较Fig.2 Comparison of the harmonic balance method and the numerical integral method

图3　系统响应的前三阶谐波幅值Fig.3 The first three harmonic amplitude responses of the system

2考虑不确定参数的齿轮副系统动态响应分析

以上分析结果主要基于系统参数为确定性参数的假设。而在工程实践中，加工和制造误差、材料不均匀性、测量误差和外部环境等因素将导致系统参数仅能获得其近似值和对应的误差界限。在这种情况下，这些系统参数可以表示为区间向量[26]

(14)

当考虑系统参数存在波动性时，原代数方程将表示为区间形式

H(uI,yI)=0

(15)

对应的迭代计算公式为

u(m)(yI)=u(m-1)(yI)-

J(u(m-1)(yI),yI)-1H(u(m-1)(yI),yI)

(16)

显然，上式右端是区间参数yI的函数。如果直接将区间算法应用于迭代计算中，计算结果将很容易产生过估计[26]。而基于Chebydshev多项式和区间算法的Chebyshev包含函数[22]可以很好地估计区间解的上下边界，避免区间过估计。根据Chebyshev包含函数的基本思想，其计算步骤可分为：

1) 生成Chebyshev插值点

i=1,…,r

(17)

式中θj=(2j-1)π/(2(k+1))，j=1,2,…,(k+1)，r为区间向量的长度，k为Chebyshev包含函数的阶次。

2) 计算插值点的代数方程

u(m)(yj1,…,yjr)=u(m-1)(yj1,…,yjr)-

J(u(m-1)(yj1,…,yjr))-1H(u(m-1)(yj1,…,yjr),

(yj1,…,yjr))

(18)

3) 计算Chebyshev多项式系数

(19)

式中,u*(yj1,…,yjr)为迭代算法计算的收敛解。

4) 构造Chebyshev包含函数，计算代数方程的区间解

(20)

2.1区间刚度参数对动态响应的影响

系统刚度参数ε的区间形式可以表示为

εI=[εc-βεεc,εc+βεεc]

(21)

式中,εc为刚度参数的中心值，βε为其偏差系数。

图4给出了ε存在区间波动时的系统频响曲线，其中图4 (a)和(b)分别考虑了不同阻尼值的情况。其他参数取值为εc= 0.05，f0= 0.5，f1= 0.1，φ= 0和βε= 15%。图中MV表示系统响应的中心值，是通过谐波平衡法计算得到的；LB和UB分别表示系统响应的下边界值和上边界值，是通过区间谐波平衡法计算得到的。对比图 4(a)和(b)可以看出：

(1) 在ζ= 0.005 (ζ≪1)时，系统存在明显的非线性跳跃现象，而且ε的区间波动性对系统响应的影响不明显。这表明在这种弱阻尼情况下，系统响应对刚度参数的波动性不敏感。

(2) 在ζ= 0.1时，系统响应的非线性跳跃现象消失，系统响应幅值降低，而且ε的区间波动性对所分析区域的响应均有明显影响。

2.2区间阻尼参数对动态响应的影响

系统阻尼参数ζ的区间形式可以表示为

ζI=[ζc-βζζc,ζc+βζζc]

(22)

式中,ζc为阻尼参数的中心值，βζ为其偏差系数。

阻尼参数ζ存在区间波动时的系统频响曲线如图所示。同样地，图5(a)和(b)对比了不同阻尼值下的系统响应，ζc分别取为0.005和0.1。ε= 0.05，βε= 15%，其他参数的取值不变。对比图4和图5的计算结果可以看出：

(1) 在ζ= 0.005 (ζ≪1)时，和区间刚度参数的分析结果相类似，ζ的区间波动性对系统响应的影响不明显。这说明在弱阻尼情况下，系统响应对阻尼参数的波动不敏感。

(2) 在ζ= 0.1时，不同于图4(b)的结果，ζ的区间波动性对系统响应的影响集中于主共振区域。这主要是因为阻尼的变化会对响应幅值产生影响，尤其是共振区域，所以共振区域的响应区间比非共振区变化明显也是容易理解的。

2.3区间激励参数对动态响应的影响

考虑皮带摩擦、电机转动的不平稳性和波动性时，齿轮系统所受的激励力往往会存在不确定性。同样地，在区间激励参数对动态响应的影响分析中，系统激励参数的平均分量f0和波动分量f1也可以表示为区间形式

(23)

(24)

(1) 在ζ= 0.005 (ζ≪1)时，图6(a)表明当考虑f0的区间波动性时，系统非线性特征未发生变化，而且其对系统响应有明显影响。具体地，在所分析区域内系统响应均有明显区间波动。这主要是因为系统激励参数的平均分量会对响应幅值产生影响但并不会改变系统的非线性特征[23]。而相比较于图6 (a)，f1的区间波动性对系统响应的影响不太明显。该结果表明在这种弱阻尼情况下，系统响应对激励参数的波动性敏感。

(2) 在ζ= 0.1时，f0和f1的区间波动性对系统响应均有明显影响。

(a) ζ=0.005(a) ζ=0.005(a) ζ=0.005(a) ζ=0.005

(b) ζ=0.1图4 ε为区间参数时的系统频响曲线Fig.4Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervalstiffnessε(b) ζ=0.1图5 ζ为区间参数时的系统频响曲线Fig.5Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervaldampingζ(b) ζ=0.1图6 f0为区间参数时的系统频响曲线Fig.6Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervalaverageexcitationcomponentf0(b) ζ=0.1图7 f1为区间参数时的系统频响曲线Fig.7Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervalfluctuationexcitationcomponentf1

2.4区间齿侧间隙对动态响应的影响

由于齿轮系统在工作过程中的磨合和反复冲击作用，齿侧间隙将发生变化。当考虑轮齿间隙波动时，间隙模型可以表示为

(25)

式中:δ为齿轮齿侧间隙的变化值，δ∈δI，δI=[δc-βδδc,δc+βδδc]，δc和βδ分别为齿侧间隙的中心值和偏差系数。

图8给出了齿侧间隙存在区间波动时的系统频响曲线，其中图8 (a)和(b)分别计算了不同阻尼值的情况。δc= 1，βδ= 15%，其他参数取值不变。从图 8的计算结果可以看出：

(1) 在ζ= 0.005 (ζ≪1)时，齿侧间隙的波动并未改变系统的非线性特征，但系统响应幅值在所分析区域内均有明显变化。

(2) 在ζ= 0.1时，齿侧间隙的波动对系统响应幅值同样有明显影响，系统响应幅值在所分析区域内均有明显变化。

(a)　ζ = 0.005　　　　　 (b)　ζ = 0.1图8　δ为区间参数时的系统频响曲线Fig.8 Amplitude frequency response of the system with interval backlash δ

3结论

将Chebyshev区间包含函数与谐波平衡法相结合，分析了齿轮副非线性系统存在刚度、阻尼、齿侧间隙和载荷等参数不确定性时的频域稳态响应情况，得到了以下几点结论：

(1) 在弱阻尼(ζ≪1)情况下，系统存在明显的非线性跳跃现象。系统频域响应对刚度参数和阻尼参数的区间波动性不敏感，而对激励参数和齿侧间隙的波动性敏感。

(2) 在ζ= 0.1时，系统响应的非线性跳跃现象消失，系统响应幅值降低。刚度参数、载荷参数和齿侧间隙的区间波动性对所分析区域的系统响应均有明显影响。阻尼参数的区间波动性对系统响应的影响则主要集中于主共振区域。

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Nonlinear dynamic analysis of gear-pair systems with uncertainties

WEI Sha, HAN Qin-kai, CHU Fu-lei

(Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract:The nonlinear dynamic model of a gear pair with backlash and time-varying mesh stiffness was developed to investigate the effects of uncertain dynamic parameters on dynamic characteristics of the system. The interval harmonic balance method based on the harmonic balance method and the Chebyshev inclusion function was presented. The amplitude frequency responses in two different damping cases were compared. The results show that: in the weak damping case (ζ≪1), the system has obvious nonlinear jumping phenomenon. In addition, the dynamic characteristics of the system are sensitive to the variabilities of the excitation parameters and backlash, and insensitive to the variabilities of the stiffness and damping parameters. The jumping phenomenon will disappear and the amplitudes will decrease when the damping ratio is equal to 0.1. Furthermore, the variabilities of the stiffness parameter, excitation parameters and backlash have significant effects on dynamic responses of the system. The influence of uncertain damping on the dynamic response focuses upon the resonance region.

Key words:gear; dynamic response; harmonic balance method; Chebyshev inclusion function; uncertain parameter

基金项目：国家自然科学基金(51335006);北京市自然科学基金重点项目(3131002)

收稿日期：2015-02-13修改稿收到日期：2015-05-21

通信作者褚福磊 男，博士，教授，博士生导师，1959年9月生

中图分类号:TH132.41；TH113.1

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.007

第一作者 魏莎 女，博士生，1988年2月生

E-mail:chufl@mail.tsinghua.edu.cn