一类非线性发展方程组的隐式解析解

王　然，袁学刚,，张洪武，吕　娜

(1.大连理工大学 结构分析和工业装备重点实验室，辽宁 大连116024；2.大连民族大学 理学院，辽宁 大连 116605)



一类非线性发展方程组的隐式解析解

王然1，袁学刚1,2，张洪武1，吕娜2

(1.大连理工大学 结构分析和工业装备重点实验室，辽宁 大连116024；2.大连民族大学 理学院，辽宁 大连 116605)

摘要：研究了一类非线性发展方程组的求解问题。该方程组可用于描述由各向同性近似可压缩neo-Hookean材料组成的圆柱管在轴向载荷作用下的轴对称运动。首先通过变分原理导出了描述圆柱管径向和轴向对称运动的非线性发展方程组；然后利用行波变换将其约化为非线性常微分方程组；最后得到首次积分,进而给出了此类非线性发展方程组的隐式解析解。

关键词：非线性发展方程组；超弹性圆柱管；非线性运动；隐式解析解

(2)

该方程组用于描述一类由各向同性近似可压缩neo-Hookean材料组成的圆柱管在轴向载荷作用下的径向和轴向对称运动。方程组中，μ为无穷小变形的剪切模量；α为材料参数；a,b分别为圆柱管的内、外半径；ρ为材料密度，对于近似可压缩材料，ρ可近似看作为常数；f,z分别为待求的变形函数，它们的下标表示对相应变量求偏导数。在轴向和径向对称的变形假设下，基于柱坐标系的圆柱管变形模式为[1]：

(3)

事实上，对于不同的材料、结构以及加载模式，对应的微分方程组也千差万别，并且求解方法也不尽相同。目前关于超弹性轴对称结构已有的研究成果中，加载形式主要集中在径向加载和轴向加载。在径向加载方面：Knowles[2]研究了不可压缩的Mooney—Rivlin材料组成的圆管的径向有限振动问题，并且给出了圆管产生周期振动的条件以及振动周期和振幅的公式。Ren[3]研究了周期载荷作用下不可压缩neo-Hookean材料组成的圆管径向膨胀的动力响应问题。Yuan等[4]研究了周期阶梯加载下横观各向同性不可压缩Ogden材料组成的圆管的径向振动问题，并讨论了材料参数、结构参数以及加载模式对圆管产生非线性周期振动的影响。Niu等[5]研究了横观各向同性不可压缩的超弹性圆柱形薄膜的动力学特性。在轴向加载方面：Coleman等[6]研究了各向同性不可压缩neo-Hookean材料组成的圆杆的轴向运动问题，并给出了孤立波和周期波的解析表达式。Dai等[7]研究了一类由不可压缩的改进Mooney-Rivlin材料组成的圆杆的有限轴、径向变形问题。讨论了临界点分岔和非奇异情形，证明了扭结波的存在性。Cohen等[8]研究了一类由可压缩Mooney-Rivlin材料组成的圆柱杆在轴向载荷作用下波的传播问题，得到了一类用于描述圆柱杆轴对称运动的非线性发展方程组。

1方程组的导出

本文考虑的圆柱管是由一类各向同性近似可压缩neo-Hookean材料组成，应变能函数为

(4)

(5)

式中，I1,I3分别为右Cauchy-Green张量的第一主不变量和第三主不变量；λ1,λ2,λ3为变形梯度张量的3个主值。

基于非线性弹性理论，描述圆柱管轴向和径向对称运动的Lagrangian函数L为

(6)

式中，J,Ψ分别为每单位长度的动能密度和势能密度，表达式如下：

(7)

(8)

利用Hamilton原理，得到如下的Euler-Lagrange方程：

(9)

(10)

将式(6)分别代入到方程(9)和(10)，整理后得到方程(1)和(2)。

2方程组的隐式解析解

设λ为轴向伸长率zZ，作行波变换，

λ=λ(ξ),f=f(ξ),ξ=Z-ct,

(11)

式中，c为波速。

将行波变换代入到控制方程(1)和(2)，得到下面的非线性常微分方程组：

(12)

(13)

将式(12)关于ξ积分得

(14)

式中，g为积分常数。

将式(14)代入式(13)可得

(15)

为研究方便，引入下列无量纲记号：

(16)

将式(16)代入式(15)可得

(17)

(18)

(19)

式中，h是积分常数。

根据式(19)可得

(20)

将式(20)代入式(18)的第一个方程得

(21)

将式(21)两边同时积分得

(22)

式(22)是径向变形函数f关于变量η的隐式解析解。

根据式(14)得

(23)

将式(23)代入式(22)得

(24)

(25)

式(25)是轴向伸长率λ关于变量η的隐式解析解。进而可以求得轴向变形函数z。

3结语

本文导出了一类可以用于描述各向同性近似可压缩的超弹性圆柱管径向和轴向对称运动的非线性发展方程组。得到了圆柱管径向变形和轴向伸长率的隐式解析解。在本文工作的基础上，对于定解问题，还可以分析不同的初始条件、边界条件和不同的积分常数以及不同的参数对隐式解析解的定性性质的影响。

参考文献：

[1]DAIHH,LIJ.NonlineartravellingwavesinahyperelasticrodcomposedofacompressibleMooney-Rivlinmaterial[J].InternationalJournalofNon-LinearMechanics, 2009, 44(5): 499-510.

[2]KNOWLESJK.Largeamplitudeoscillationsofatubeofincompressibleelasticmaterial[J].QuartApplMath, 1960, 18(1): 71-77.

[3]RENJ.Dynamicalresponseofhyper-elasticcylindricalshellsunderperiodicload[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2008, 29: 1319-1327.

[4]YUANXG,ZHANGRJ,ZHANGHW.Controllabilityconditionsoffiniteoscillationsofhyper-elasticcylindricaltubescomposedofaclassofOgdenmaterialmodels[J].Computers,MaterialsandContinua, 2008, 7(3): 155-165.

[5]NIUD,YUANX,CHENGC,etal.Dynamiccharacteristicsinincompressiblehyperelasticcylindricalmembranes[J].ActaMechanicaSolidaSinica, 2010, 23(5): 420-427.

[6]COLEMANBD,NEWMANDC.Onwavesinslenderelasticrods[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis, 1990, 109(1): 39-61.

[7]DAIHH,ZHAOXH.NonlineartravellingwavesinarodcomposedofamodifiedMooney-Rivlinmaterial.I.Bifurcationofcriticalpointsandthenon-singularcase[C]//ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondonA:Mathematical,PhysicalandEngineeringSciences.London:TheRoyalSociety, 1999, 455(1990): 3845-3874.

[8]COHENH,DAIHH.Nonlinearaxisymmetricwavesincompressiblehyperelasticrods:longfiniteamplitudewaves[J].ActaMechanica, 1993, 100(3-4): 223-239.

(责任编辑邹永红)

本文考虑如下的非线性发展方程组：

Implicit Analytical Solutions for a System of Nonlinear Evolution Equations

WANG Ran1, YUAN Xue-gang1, 2, ZHANG Hong-wu1, LV Na2

(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China ;2.School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China)

Abstract:This paper investigates the problem for solving a system of nonlinear evolution equations. The system can be used to describe the axisymmetric motion of a cylindrical tube composed of a class of isotropic approximate compressible neo-Hookean material models. Firstly, the system describing the radially symmetric and axisymmetric motion of the cylindrical tube is derived by the variational principle. Then the system can be reduced to a system of nonlinear ordinary differential equations by the traveling wave transformation. Finally, the first integral is obtained, and the implicit analytical solutions of the system of nonlinear evolution equations are given.

Key words:system of nonlinear evolution equations; hyperelastic cylindrical tube; nonlinear motion; implicit analytical solution

收稿日期：2015-11-16；最后修回日期：2015-11-20

基金项目：辽宁省教育厅高校优秀人才支持计划(LR2012044)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DC201502050203，DC201502050403)。

作者简介：王然(1988-)，女，内蒙古赤峰人，大连理工大学博士研究生，主要从事非线性动力学问题的解析解法和数值解法研究。通讯作者：袁学刚(1971-)，男，吉林桦甸人，教授，博士，学校优秀学术带头人，博士生导师，主要从事非线性弹性材料和结构的有限变形问题研究，E-mail:yxg1971@163.com。

文章编号：2096-1383(2016)03-0230-03

中图分类号：O175;O343

文献标志码：A