数学教师对定义性概念教学的适应性研究

巩子坤+李宁宁+汪胜

摘 要：通过对两位高中数学学科带头人有关异面直线所成的角的概念教学研究发现，有的教师对于定义性概念教学，存在不适应的问题，没有整体把握概念形成的大思路，没有理清概念引入、形成、引出的逻辑脉络.因此，教师在定义性概念教学中，要区分不同的概念类型，开展符合认知规律与数学逻辑规律的针对性教学.

关键词：定义性概念教学；适应性；异面直线所成的角

一、 问题的提出

（一）研究的背景

实现课程改革目标的关键在于教师.有研究表明，现有高中数学教师的教学思想、教育技能与新课程理念还是比较接近的[1].但也有研究指出，从理论上讲，新课程理念能够为一线教师所接受，但是理念要转化为行为，在课堂实施中不走样，尚需一段时日.如今，阻碍改革顺利进行的问题重心已经从理解“为什么”转到了思考“怎么做”[2] .

以上研究，大都从宏观的视角，探查了数学教师对课改的适应性，缺乏对于“怎样做”的微观思考.本文基于两位数学教师“异面直线所成的角”课堂教学案例，微观探查教师对概念教学的适应性.

（二）主要概念的界定

概念是对一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的简明、概括反映.按照加涅的分类方法，数学概念可以分成具体概念与定义性概念.

具体概念指一类事物的共同本质特征，这些特征可以直接通过观察获得.获得具体概念就意味着能识别事物的“类别”.比如，通过对几个三角形的观察，获得“三角形有三条边，三个角，三个顶点”.

定义性概念指一类事物的共同本质特征，这些特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示.定义性概念是对属性及属性间关系的言语陈述.比如，三角形的定义是“由三条线段首尾相接构成的封闭的平面图形”.

（三）研究问题的阐述

异面直线是高中数学的核心概念[3].为了进一步刻画该概念，必须引入异面直线所成角的概念.异面直线所成的角是定义性概念，定义性概念可以通过概念的形成来教学.定义性概念是怎样形成的？教学环节中呈现的顺序是否符合概念形成的认知规律？是否符合定义性概念定义的逻辑顺序？教学用时能保证这些环节的顺利展开吗？

二、研究的设计

（一）理论基础

数学概念的学习，主要有两类过程，一是概念的形成，二是概念的同化.就概念形成而言（本研究主要涉及概念的形成），其实质是抽象出某一对象共同本质特征的过程.其一般过程包括：辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、形成.

对于数学概念（或者原理）的学习，可以从以下三个维度进行分析：引入，即为什么、用什么样的情境来引入概念；形成，即如何探究形成该概念；引出，一方面应用该概念解决问题，另一方面，该概念又引出了哪些新概念，如若引出了新概念，则该概念就成为了新概念引入的情境[4] .

（二） 研究对象

2015年上半年，来自浙江省内的30名高中数学带头人聚集一堂，开展主题为“数学课堂教学设计与实践能力提升”的学习与实践.这些教师的概念教学具有代表性.

本文的研究对象是两位学科带头人，研究载体是异面直线所成角的概念教学.

（三）数据收集与分析

两位教师于同一天，在一所省级重点高中，先后进行了“空间中直线与直线之间的位置关系”一节课的教学.我们进行了视频拍摄，然后将这两节课的视频转录成文字.我们从定性、定量两个维度，分析两位教师的教学.定性的维度是教学环节亦即教学安排；定量的维度是教学环节的用时.

三、结果与分析

（一） 概念形成的顺序、逻辑

1.教师A概念形成的顺序（教师A概念形成的思路见图1）

教师A：（学习了异面直线的概念后）认识异面直线，有两个维度，一个是不平行，一个是不相交.要认识不平行的话，我们可以去认识平行.同样的道理，要认识不相交，我们也可以从相交开始.同样，要认识空间的几何图形，可以从平面开始.

（1）类比得到平行线的传递性

回顾平面中平行线的传递性；引出平行线的传递性公理（公理4）.

（2）直观把握等角定理

教师A：以上介绍了公理4的简单运用.理、定理引入的必要性体现得更加自然、顺畅，其对于异面直线所成角的认识更加深刻、本质，对于思想方法的贯彻更加准确、清晰.

教师A对于定义性概念教学的大思路，本质上也是对教材的补充与完善.想一想，教材的思路是清晰的：引入公理4，潜在地说明了异面直线所成角的存在性，同时，为证明等角定理提供了铺垫；类比引入、直观感受等角定理；类比平面引入空间异面直线所成的角；思考说明角的唯一性.但是，要理解这样的思路，要把这个思路转化成学习的路径、教学的设计，还是十分困难的[5].这个思路的中间，还有许许多多需要再加工的内容.

正如讲一个故事，故事的情节、人物已经有了，但是，要把这个故事整体地联接起来，要把这个故事的“起承转合”处理好，还要下许多功夫.虽然，从公理4开始，是对异面直线这个具体概念、模糊概念的深入认识，但是，教材没有交代清楚.当然，按照我们的理解，要对异面直线这个模糊概念有一个深入的认知，就需从两个维度展开：不平行，从而有夹角，即有倾斜程度（所以，认知不平行就从夹角开始，这也许是对教师A教学思路的补充与完善）；不相交，就有距离（事实上，平行线距离的认知，就是这样开始的.这些观点与梁丽平的观点不谋而合[6]）.由于教材中只介绍夹角，而不介绍距离，因而，如何串联起上述内容，需要大的思路、大的智慧.进一步，公理4是引入了，但是由于教材中没有用这个公理证明异面直线所成角的存在性，也没有用这个公理来证明等角定理，因而，这个公理的作用是潜在的.如何理解并处理这个公理的作用，值得思考.

如此看来，在“起”——即引起异面直线所成的角概念，在“承与转”——即公理4的引入与引出，等角定理的引入与引出，公理4、等角定理与所成角的概念的承上启下，在“合”——即与异面直线的距离整合在一起，全面地、定量地认识异面直线的概念内涵，等等方面，教材的处理是有问题的，是模糊的.即教材没有把“异面直线”这个故事写好，教师所需要的剧本存在瑕疵，教师这位导演需要对教材再理解、再编剧，因而，教师要讲好这部分内容就十分困难了.

（二）教材编写建议

长方体是学习空间几何最好的载体.教材在介绍等角定理时也是以长方体为载体的（如图5）.为了说明两个角的两边分别对应平行，除了两角相等外，还有互补的情况，于是找了∠ADC和∠A1B1C1.但是这两个角都是90°，可以说它们互补，但也可以说它们是相等，因此不能以此来说明等角定理.

我们可以采取另一种方法，仍然以长方体为载体（如图6），添加辅助线A1F1和AF，使得A1F1∥AF，这样∠A1F1B1和∠AFB的两边平行，两个角相等；∠A1F1B1和∠AFC的两边也平行，而这两个角互补.

参考文献：

[1]邵婷婷，邵光华.新课程高中数学教师适应性研究[J].数学通报，2005，44（1）：15-18.

[2]巩子坤，李忠如.数学教师对新课程理念的适应性研究[J].数学教育学报，2005，14（3）：67-71.

[3]马宁.高中数学核心概念及其教学的调查研究[D]. 西安：陕西师范大学，2015.

[4]孙旭花.问题变式：中国数学教材问题设计之特色[J].数学教育学报，2012，21（3）：54-59.

[5]MALONEY A P， et al. Learning over time： Learning trajectories in mathematics education[M]. Charlotte， NC： Information Age Publishing， 2014.

[6]丘成桐，等.数学与人文（第一辑）[M].北京：高等教育出版社，2011.