基于不完美维修库存生产下设备定期预防维修策略

刘永迅　吕文元

摘 要：文章针对生产线上库存生产的随机故障设备，制定一个新定期预防维修策略。在该策略中假设设备的寿命，预防维修时间都是服从随机分布，同时假定设备故障事后维修为不完美维修，其设备寿命服从准更新过程。然后结合该策略构建数学模型，通过计算最小化预防维修周期内设备维修成本、库存成本和短缺成本的总和，获得反映该策略的两个决定性变量目标库存量和定期预防维修周期的最优值。

关键词：定期预防维修；随机故障；不完美维修

中图分类号：F253 文献标识码：A

Abstract： The paper derived out a new regular preventive maintenance strategy for randomly failure inventory production unit of line production system. Suppose in the policy life of the equipment， preventive maintenance time are subject to a random distribution， while assuming that the equipment failure corrective maintenance is not perfect repair， equipment life follows its quasi-renewal process. The optimum values of the decision variables S and T， which decide of this strategy， are obtained by trading off the maintenance cost， the inventory holding cost， and the shortage cost such as their sum is minimum.

Key words： preventive maintenance； randomly failing； imperfect maintenance

0 引 言

很多文献表明预防维修可以有效地延长随机故障设备寿命和减少生产成本[1-3]。在提倡最小化库存与周转次数的just-in-time生产环境下，预防维修的效果日渐凸显，其影响越来越大[4]。目前预防维修的研究已取得很多阶段性的成果，Zhao研究了一个执行周期性预防维修的设备，假定每一次预防维修之后设备开始新的失效过程，并用退化率来表示不完全维修的影响，其为一个变量，最后推导出了设备生命周期内的可使用率、成本函数，并获得了最佳的维修次数和时间间隔[5]。韩帮军等提出了等效役龄的概念，建立了预防性维修周期故障率的递推关系，并以故障时间符合威布尔分布的设备为例，构建可靠度约束条件下有限时间区间的预防性维修策略的优化模型，反映系统在特定时间段内预防性维修活动的控制方法考虑设备的可靠性与成本之间的相互约束关系[6-7]。

然而这些策略大部分围绕解决单设备的维修次数和预防维修间隔问题。对于两随机故障设备之间存在依赖关系这样的生产环境，不清楚在何时如何去制定预防维修计划[8]，因为在执行预防维修或故障维修时需要设备停止生产，这样会使得其依赖设备由于所需求的生产材料不足而影响整条生产线的产能，从而造成非常大的损失。因此如何将生产与维修结合制定，也是目前维修领域需要考虑的问题。

本文考虑针对提倡just-in-time环境的生产线上随机故障设备，结合缓冲库存策略制定一个新的预防维修计划。在提出的策略中，预防维修固定在T，2T，3T…时刻执行，在每个T间隔周期开始，设备以最大的生产速度α来积累库存S，直至达到目标库存量。该目标库存量需要保证在设备由于随机故障或定期执行预防维修而停机生产的时间内，能够满足下游设备的生产原料的固定需求，使得整条组装线可以持续以固定的速度β运行。针对该策略，构建一个数学模型，在模型中设备寿命，故障维修时间以及预防维修时间都是服从随机分布的，且假定每次的定期预防维修周期都是设备的一次更新过程。同时基于现实维修能力的限制，假定定期预防维修周期内设备故障事后维修是不完美的维修，服从更新理论，也就是设备每次发生故障之后，设备的寿命退化为故障发生前设备状态的a倍（0

1 模型假设

1.1 基本假设

为了模型简化和研究的方便，在构建模型之前做如下的假设：

（1）设备寿命和维修时间的概率分布是已知的；

（2）一旦机器发生故障可以马上反应并修理；

（3）每次维修操作执行之后，设备恢复到最新的状态；

（4）假设执行完维修操作之后机器可以马上投入生产，同时假定在构建目标库存量之前设备不会发生随机故障；

（5）允许机器有足够的能力以速度α快速的生产出大小为S的缓冲库存；

（6）假定所有维修成本和库存成本都是已知的。

1.2 符号定义

全文中，如下符号会被用到：

2 数学模型

制定生产维修策略的目标就是降低总的生产单元维修成本。依据定义的策略，本文的目标就是在于寻找最优的预防维修周期T和库存大小S，从而使得在这个维修策略下，整个生产过程的每单位时间内总维修成本最低。下面通过分析来建立成本的数学表达式。图1表示周期T内缓冲库存的变化。

其中：MT·β·MTTR的大小表示在周期T内设备进行故障维修的时间内组装线的消耗库存量的平均值。MT是预防维修周期T内设备可能发生故障次数的期望值。参考文献[9]，基于拟更新理论，在假定设备寿命服从伽玛分布Gammaα，β情况下，设备在0，t时间间隔内发生随机故障次数表达式如下：

2.1 维修成本

周期T内维修成本包括故障维修和执行一次预防维修的成本，表达式如下：

cm=C ·MT+C

2.2 库存成本期望

由模型假设4和5，考虑MT·MTTR·β≤S≤αT，总库存成本期望表达式如下：

其中：MTBF= MTBF

2.3 短缺成本期望

在这个模型中发生短缺的原因在于当某次预防维修时间太长，导致剩余的库存量Q=S-MT·MTTR·β不能够满足维修期间组装线的需要，因此短缺成本的表达式如下：

2.4 周期内的总成本期望

设备总成本的期望值包括维修成本，库存成本和短缺成本。所以它的表达式如下：

将一个维修周期定义为两次执行预防维修操作之间的时间间隔，所以维修周期的平均时间长度为ET+T ，表达式如下：

其中：T 为一个随机变量，表示预防维修操作所需要的时间。它和预防维修周期T是相互独立的。F t表示为它的概率分布函数。

因此单元时间内总成本的期望CT表达式如下：

最后，通过建立如下非线性优化问题来获得最优的决定变量周期T和库存S：

下部分将运用枚举法设计一个计算方案来求解上述非线性规划问题以获得最优的解空间S ，T 。

3 数值计算

如下迭代计算步骤用来寻找在给定参数值f x，f x，f x，C ，C ，C ，C ，α，β，T 时维修策略最优决定变量S ，T ，同时求得最小的生产总成本。迭代计算流程如图2所示。

其中：T 必须取得足够大，这样能够选择到尽可能多的T值进行计算保证得到最佳表现的预防维修周期。

4 数值案例

下面通过一个数值例子来验证本文策略的有效性。

4.1 数据模拟

虽然这些数据模拟得到的，但主要还是依据许多制造公司在实际操作所遇到的情况来设置，比如在现实中预防维修操作的平均时间远比生产单元寿命要小，所以在本文中假设预防维修操作时间的平均值为0.04个月，而生产单元寿命的平均时间设置为0.6个月，符合实际的情况。

4.2 计算结果

如表1是使用R语言计算出来的结果：

由表1最后一列的结果显示，最优的策略决定变量为T=1.0和

S=1 858.1。按照这个维修策略，可以得到在周期T内每个设备的最小平均生产成本为15 121.8。

观察表1中的数据，可以发现当T值逐渐增大到无穷时（此时也就相当于不对生产单元执行预防维修操作），只有故障维修，此时最优的库存大小趋近于最小的库存。这就意味着，缓冲库存只需满足由于随机故障导致的需求即可。

5 总 结

本文针对组装线的库存生产随机故障设备构建一个结合库存生产系统的定期预防维修策略模型。在这个模型中假定设备的故障维修和预防维修时间服从随机分布，同时考虑实际维修能力的限制，假定设备的故障维修为不完美维修。这个策略的关键在于两个决定变量：定期预防维修的周期T和用于缓冲作用的库存量S。这两个决定变量的最优值是通过最小化每单位时间内生产的总成本期望来得到的。关于这个工作有很多可扩展的地方。例如对这个模型考虑库存产品会随着时间而腐蚀的情况，或者考虑生产和需求的速度是可变的情况。

参考文献：

[1] Barlow， R.E.， Proschan， F. Mathematical Theory of Reliability[M]. John Wiley and Sons， New York， 1965：108-117.

[2] Nakagawa， T. A summary of periodic replacement with minimal repair at failure[J]. Journal of the Operations Research Society， 1981，24（3）：213-218.

[3] Nakagawa， T. Periodic replacement models with threshold levels[J]. IEEE Transactions of Reliability， 1991，40（3）：395-397.

[4] Hall， R. Zero Inventories[M]. Dow Jones-Irwin， Homewood， 1983.

[5] Zhao， Yong. On Preventive Maintenance Policy of a Critical Reliability Level for System Subject to Degradation[J]. Reliability Engineering & System Safety， 2003，79（3）：301-308.

[6] 韩帮军. 基于可靠度约束的预防性维修策略的优化研究[J]. 机械工程学报，2003（6）：102-105.

[7] 韩帮军. 有限时间区间预防性维修策略的优化[J]. 上海交通大学学报，2003（5）：679-682.

[8] Pintelon， L.M. Maintenance management decision making[J]. European Journal of Operational Research， 1992，58（3）：301-317.

[9] Samet， S. Repairable systems availability optimization under imperfect maintenance[J]. Bulletin of the Polish Academy of Sciencestechnical Sciences， 2009，57（3）：249-256.