在极限教学中培养学生计算能力的研究

王荣波

摘 要：极限是高等数学中的最基本、最重要的概念，它是建立微积分理论的基础。极限的思想方法是深入研究函数（如导数、定积分等）的有力工具，它贯穿于整个高等数学的始终。

关键词：极限教学；培养学生；计算能力；研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）10-016-01

极限是高等数学中的最基本、最重要的概念，它是建立微积分理论的基础。极限的思想方法是深入研究函数（如导数、定积分等）的有力工具，它贯穿于整个高等数学的始终。因此，建立极限思想，熟练掌握求极限的方法，对学生学好高等数学和相关专业课程意义十分重大。然而，由于极限计算中涉及到诸多初等数学知识，需要进行适当的变形，这就增加了学生求极限的难度。又由于极限概念的高度抽象性，致使我们很难用极限定义本身去求极限。在极限教学实践中，探究行之有效的、针对不同层次的学生进行不同要求并行之有效的求极限的方法是高职数学教学研究的重要课题。

一、深刻理解极限的概念是明确极限计算原理的必要条件

极限的抽象性在于不同于函数值那样具体直观，它使用的手段是观察分析，强调的是自变量变化时，函数的变化趋势。而这种变化趋势往往看不见摸不着，需要我们去想象和推测。

我们知道，极限的概念是由于求解某些实际问题的真值而产生的。如古代数学家刘徽的“割圆术”，就是极限思想在几何学上的应用。庄子的“天下篇”有关极限的描述及生活中的有关极限的实例，为学生理解极限的概念提供了具体直观的模型。它使我们知道了衣服是洗不干净的原因，金无足赤的原理，极限并不神秘，它就在我们身边。因此，案例的选择，对案例的深刻剖析，抓住极限的本质特征是极限教学成功的关键。

二、从极限最基本的求法中，培养学生分析问题、观察问题和解决问题的能力

极限的四则运算法则是进行极限常规计算的依据，两个重要极限公式是求特定极限的有效工具。因此，这两个知识点是教学的重点。对法则和公式虽然可以不加证明，但对证明的思路有必要加以说明，对它们的合理性应该加以解释，而不应强迫学生去接受。强调法则成立的条件的必要性和充分性，注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。把握重要极限公式的特征，以便正确的运用法则和公式求有关极限。特别强调的是，极限符号下面的极限过程是一致的。

当函数的解析式 为有理整式时，极限的计算结果会使学生恍然大悟，原来极限值就等于函数值，即 。如果问题都像这样简单，那么极限的计算也就没有什么艰难曲折了。

在有的时候，我们往往只需要知道极限的结果，对过程我们可以不关心，这对数学基础差的学生来讲是非常有利的。这就是“黑箱原理”（黑箱手段就是将研究对象封闭、凝固而不予打开，不探究其内部结构，不追问其具体细节，只看输入和输出。）在数学学习中的运用。

从众多的例题的解答过程说明，极限的计算需要我们对它进行适当的变形，如何变形，要针对具体情况而定。这就要求学生要进行一定量的练习，才能熟练掌握极限的计算方法。

三、深入剖析极限运算的内在规律，培养学生的计算能力

模仿例题和套用法则或公式是培养学生极限的计算能力的重要途径。以重要极限公式2为例，引导学生观察变形过程的规律性，理解为什么要要这样变形，计算的结果和题目中的参数之间有无直接的关联？接着让学生求类似的极限。通过学生的计算，可以把他们划分为三个层次：第一层次，他们真正理解了公式的特征，明白计算原理，能够独立完整的写出解题过程，得出正确结果；第二层次，能记住公式，也知道公式的特征，但在变形方面有障碍，其原因是对指数的运算不熟悉，于是他们就开始模仿例题，生搬硬套也能得出正确结果；第三层次，这类学生的数学基础薄弱，理解能力有限，甚至不会正确的书写数学符号，更不能写出解题过程，但是他们知道计算的结果。因为他们听明白了结果与题目之间的关联，所以，也就能猜出正确的结果。接下来，就要按照以上三个层次进行真正意义上的因材施教了。对第一层次的学生，要求他们做更复杂，技巧性更强的题目，使这部分学的极限计算能力得到进一步升华。对第二层次的学生，要给他们补习相关的初等数学知识，明白每一步计算的原理，按照个人的理解写出解题过程。对第三层次的学生，尽可能的教会他们正确的书写数学符号（特别是极限符号），能仿照例题写出解题过程，达到第二层次的水平。

求极限是高职生特别是高职理工科学生必须练好的一门的基本功。然而面对错综复杂的极限计算题，许多学生感到茫然不知所措。为了帮助学生学好极限，有必要对求极限的方法进行归纳和总结。求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会，在练习中进步。进行一题多解训练，可以启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题。可以充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧，也可以锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧，同时开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。