过程与结果是数学活动的双翼

【人物档案】

屠桂芳，南京市第十三中学校长，中国教育学会教育管理分会理事、江苏省中学教育管理专委会理事，江苏省学生体协副主任及省中学生田径协会主席，南京师范大学教科院管理专业指导专家与硕士生导师。先后获得南京市名校长“陶行知奖”、南京市数学学科带头人，南京市教育科研先进个人等称号。先后发表学术论文60多篇，主编或参编论著9本，主持并完成国家级课题2个、省级课题6个，获得市级及以上表彰19项，主持的课题“高中自主学习文化的创新与实践”获2013年江苏省教学成果奖（基础教育类）一等奖，“新课程校本化的规划与设施”获得教育部国家级教学成果奖二等奖。

“数学教学是数学活动的教学”，这句名言流传极广，在数学教育的相关文章和课堂实践中常被引用，积极作用可谓巨大。但是，它的负面作用也在潜滋暗长，比如有的课堂教学从一个极端（只重结果）走向另一个极端（只重过程），“开门迟迟不见山”的状态在理论研讨和教学实践中都时有所见。其实，俄国教育家斯托利亚尔的完整表述是：“数学教学是数学活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果的教学。”为此，我们将把这句话放在新课改的大背景下进行审视，在不同的层面上对“数学活动”讨论，以期比较全面地认识它的现实意义。

一、数学活动的目的是什么——不能为活动而活动

郑毓信教授等认为新课改的“新”主要有两个“标志”，即“三维目标”与“自主、合作、探究”[1]。令人感兴趣的是，这两个“标志”有一个交集，那就是“数学活动”。“过程与方法”目标中的“过程”主要指的是活动过程，而“自主、合作、探究”只能在“活动”中进行。《义务教育数学课程标准（2011年版）》把获取“基本活动经验”列为“四基”之一，“活动”得到了前所未有的重视。新课改十多年的实践表明，重视活动、开展活动、以活动实现知识建构和能力培养的意识已经深入到数学教师的思想深处，极大地改变了数学课堂的价值追求和呈现形态。

案例1：椭圆标准方程的探求

新课程体系下，作为教学常态的“学生活动”，具有两个鲜明的特点：一是全程参与，从设计解题方案开始，到坐标系的选择、方程的建立、标准型的确定等都是在学生参与下进行的；二是全员参与，在活动的过程中，始终提倡自主探究与体验等。

如“求椭圆的标准方程”教学设计如下：

（1）学生自主进行过程设计，心里有一个“渐进”的探求流程图（此时学生已有求直线方程和圆方程的经验积累），然后进入实施阶段。

（2）坐标系的选择，依靠经验与直观，建立适当的坐标系，以期望探求过程及最终结果的简化和美化。

（3）设出相关点的坐标，把几何等式PF1+PF2=2a转化为代数方程+=2a。

（4）化简的过程难度较大，应留出足够的时间给学生自主尝试，这是基于“四基”的要求。

（5）由化简得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）之后，不宜直接“告知”学生令“a2-c2=b2”的换元，而是先让学生观察式子特征，从简洁和美感的角度观察是否还能进一步化简。

（6）在师生的共同参与下，化简整理成标准方程+=1（a>b>0）。

（7）反思上述的“标准方程”，是选择“恰当”的坐标系才得到的“简洁、优美”的方程形式。由此类比得到焦点在y轴上的椭圆标准方程+=1（a>b>0）。如果椭圆在其他位置是不是就没有方程了？显然也是有的，不过其形式就不简洁了。

上述教学重视学生活动，体现出极大的教学效益。首先，“活动”本身就是一个目的。通过活动，学生体验了求曲线方程的过程、方法、原则、注意事项等，能力上得到了提高，情感体验得到了丰富，这都会为全面理解椭圆方程提供直接的背景，而不仅限于标准方程。同时也为之后求双曲线和抛物线方程提供了活动经验。因此，学生经历的这个学习过程和方法的感受、体验，对学习经验的积累、提纯、升华，对情感、态度、价值观的培养和深化，本身就是一个巨大的收获。

其次，在数学活动“现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化”的过程中形成了完整的认知结构，增加了两个新的元素：其一是椭圆的标准方程，其二是求曲线方程的基本步骤（简记为“建立坐标系、设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程”等）。

最后，回顾探求过程中，通过引导学生自己去建立坐标系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考时间和空间，让学生树立敢于挑战自我的勇气，耐心、细心地等价转化解决化简问题，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美、对称美”为“发现简洁美、对称美”，学生的“感受”真切而实在。

这三个收获都很重要。通过过程体验，学生收获了“求曲线方程”这一程序性知识；通过明确总结与固化，学生收获了“椭圆的标准方程”这一陈述性知识；最后通过求简求美等反思活动，学生还在“策略性知识”上有所拓展。通过标准方程的推导培养学生观察、运算能力和求简意识，并能懂得欣赏数学的“简洁美”，这个活动过程在知识与能力目标、过程与方法目标和情感态度价值观目标上都有全面的体现。

试想一下，如果只注重过程而不注重结果，或者只注重结果而不注重过程，则学生的“数学活动”都是不充分不完整的，学生能力的发展也是不全面的。

传统的教学法强调知识结果，忽略前期的探究和后期的反思，这已逐渐被人们认知并纠正。但“为活动而活动、为探究而探究”的极端倾向，淡化了教师的主导作用。案例1的前四步就是过程，而如果没有（5）、（6）两步就没有结果，没有（7）就没有认知的正向迁移—深化了的结果。

学生的数学活动是为了实现知识的丰富、能力的加强和素养的提高，这些自然不能脱离过程。欲达此目的，结果与过程同样重要。英国教育部2013年提出数学教学要“改回严谨的数学”，就是对“只重过程不重结果”行为的矫正。

二、活动的结束以什么为标志——有活动必须有总结endprint

数学活动是从问题或情境开始的，那么它在何时结束呢？结束的标志又是什么呢？答案应该是“结果确认”。在活动的过程之中，学生的知识、能力、情感态度价值观产生了新的变化，并影响个人的心理和文化品质，这些都是结果。

对学生来说，数学学习不仅要学习数学的思维结果，更要学习数学思维的方式方法、发展数学能力，这都是“结果确认”的表现形态。能力的发展决不等同于知识与技能的获得，能力的形成有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因而教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。

活动必须有结果，不能“只听楼梯响，不见人下楼”。教师有主导课堂的职责、学生有顺应或整合的需求、课堂有必须承载的教学任务。所有这些，不通过教学的总结反思都无法实现。对于课堂活动的预设目标，教师必须有一个清晰的“目标认可”。即使生成过程没有完全按照预设的路径进行，也必须在新路径上有个最终结果。不宜有不了了之的活动，也不能有无限开放却又不可捉摸的所谓“前景”。清晰明确、固定状态的结果是教学活动的必然要素之一，也是教师的职责所在。

案例2：分数的加法运算

北师大的曹才翰教授讲述了他在美国听的一堂数学课。教师安排了多个活动，让学生体会、探究分数的加法运算，学习活动非常热烈。但最后，教师没有总结出“同分母分数相加……”和“异分母的分数相加……”等运算法则，而是让学生“谈体会”。一个学生说“+=”，多位同学附和，教师随即说“干得漂亮”，然后就下课了。听课者课后问那位教师：“为什么你同意+=？”教师答道：“因为他们高兴”。

这自然是一个极端的案例，曹教授也感叹“这样的数学也太浪漫了”，在中国不会有这样的教师和这样“浪漫”的课堂。但是，教学中片面的“愉快教育”、极端的“建构主义”思潮，“为讨论而讨论”“为合作而合作”“为活动而活动”小组合作学习流于形式等只求“表面热闹”的教学，还是时有出现。只为学生“高兴”、缺少教师的规范引导、放松严谨性的要求，必然导致活动的浅层化和幼稚化，造成学术规范的缺失。

弗赖登塔尔有句名言：“与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化。”其实“数学化”总该“化”到某个程度，“化”出某个（数学上的）结果来。“化”的过程可以是教育形态，“化”的结果必须是学术形态或尽可能地接近学术形态。

一次数学活动，重视过程但不能以牺牲结果为代价。虽然对于一些前沿课题，数学家一时找不到最终结果，不得不结束这个活动（比如第五公设和费尔玛大定理，历经千百年而终成正果），但是作为人类群体来说，这个研究活动肯定还会继续下去，直到最终结果的显现。比如哥德巴赫猜想，虽然当下的研究沉寂着，但是人类未来总归会解决它。

教学中注重学生的活动，主要的理论之一是“再创造”。然而“再创造”毕竟不同于“原创造”，更不能只有“再”而没有“创造”。对此，弗赖登塔尔有明确的论述：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而应是改良同时有更好的引导的历史过程”[2]。“更好的引导”就是体现在结果的完整呈现上。与“原创造”相比，作为教学行为的“再创造”的优势也就在于“教师预设了结果”。学生、教材、教师三者的有机融合才构成多元化的课堂，任何一方的缺位都不能被允许。教师应该把史料中历经多次失败、长期探究而得来的结果性知识，在有限的时间内以学生可接受的形式呈现出来。只有如此，才能让学生站在巨人的肩膀上，反思过程与结果，回望他们成功到来的路径。1966年“菲尔兹奖”获得者阿蒂亚说：“如果我们希望把人类积累起来的知识一代一代传下去，我们就必须努力地去把这些知识加以简化和统一”[3]。毫无疑问，“简化和统一”应该用结果来体现，这是教育者的责任所在。

那么，结果的“呈现”由谁来完成呢？我们当然期待由学生完成总结。但数学的结果是用高度专业化的数学语言系统来表述的，比如一些规定的专用符号和约定，不可能通过“探究”而得到。因而在学生总结基础上的教师跟进概括，不仅提高学生学习的效率，也可以在规范化上给学生做出示范。比如上面案例1中，“椭圆的标准方程”和“求曲线方程的步骤”，经教师启发而呈现为完整的规范结果，可以给学生一个清晰、可靠而概括的印象。在2013年，英国教育部提出要“改回传统的严谨数学”，这对我们也应该是个值得注意的苗头[4]。所以，活动必须以结果确认为终点，有活动必须有总结，教师专业化、规范化的“最终总结”不可或缺。

三、为什么说“结果也是过程的一部分”——过程与结果的辩证关系

对学生活动以及知识发现过程的重视，代表了教育科学研究的最新潮流。因此从新课改起步阶段理论界的重视，到之后一线教师积极回应的实践，两者互相激荡形成共振，掀起的一个潮头就是“过程重于结果”。这个潮头的积极意义是让一线教师领会到了新课改的一个重要思想，并迅速地走到新课改的正确轨道上。但是，把活动强调到偏颇的程度，选择性地截取一句话而“为我所用”，就显得过犹不及了。毕竟数学活动的最终结果导向——即数学知识，更有利于继承和传播。数学（以及其他的文化成果）是以稳定的知识形态而得以世代流传的，数学的意识、思想、方法也都需要形成清晰的可表述的形式，才能为学习者所领会和掌握。

案例3：数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求该数列的通项公式。

教学设计1：教师板演求解过程，得到通项公式an=2n-1，学生“听懂了”，这个问题即是解决了。对于教学水平较高一些的教师还会让学生模仿着练习，知道“这一类”问题就是这样解决的。

教学设计2：先让学生自己探究，遇到困难进行讨论。然后由学生把求通项的方法板演（或讲演）出来，其他学生“听懂了”之后模拟练习以求巩固。教师的作用是适当点拨，并提供巩固练习题。endprint

上面的“教学设计1”，教师的板演代替了学生的自主活动，是只重结果不重过程。从达成的效果上看，学生“听懂了”之后或许“长了见识”，但是没有“形成能力”。这是一种低效率的教学方法，新课改后已经被完全抛弃。

“设计2”当下广泛流行，极具迷惑性，以致人们认为这就应该是新课改所提倡的“注重过程与方法，大胆推进学生探究活动”的教学模式。从达成的效果上看，学生的探究意识得到了强化、问题本身得到了解决、自主学习的能力得到了提高，因此可预言“过程与方法”目标的达成度高。但是此设计在“知识与能力”目标上的达成度还远远不够。课堂上的显性结果只有通项公式an=2n-1，只是一个问题得到解决。而在活动过程中，学生所获得的丰富体验与经验，却是内隐的，没有形成整体文字的形式。遇到“同一类”问题之时怎么办？就只能重新进行一次探究了。因此从课堂进程上看，学生“探究体验”丰富了，“探究意识”增强了，但是我们不能由此肯定他们“探究的能力”有多么大的提高，只能肯定他们更熟练了而已。对于感悟能力不强的学生，很可能是之后每遇到一次这种题目，就从头开始再探究。在此，尝试给出以下的设计：

教学设计3：先按“设计2”进行，在后面加上总结与反思的环节。即要求学生把活动中的“体验与感悟”形成文字的形式。比如总结成如下的显性结果：

总结：求线性递推数列通项公式的常用方法。

方法一：观察—归纳—证明。

方法二：辅助数列法，在an+1=pan+q（p≠1）的两边同加上，构造一个等比数列。

方法三（视具体情况选讲）：特征方程法。

这里总结出的结果，不是公式、不是概念、不是定理，而是蕴含的思想方法。即把“思维过程”总结成明确的、显性的、可表达的成果，并进一步地形成思维方式。这里不是向学生灌输“题型+方法”，而是把思维活动的结果显性化。“显性化”的过程是学生参与的，最终增加了学生的程序性知识和策略性知识。

这里需要考虑的问题是把思路与方法固定化、模式化，是不是落入机械主义的窠臼，走到了“死记硬背”的邪路上去了呢？答案是否定的。事实上，一是这些方法源于学生的体验活动，是切身感受过的东西，是学生自主生成的，不完全是教师给予的，教师起辅助作用；二是这样的总结有利于形成思维模块，对于提高探究活动的效率、形成聚合思维有极大的帮助；三是这些总结不是“死”知识，比如案例3中求数列通项的步骤以及案例1中求曲线方程的五个步骤等，模式化有益于学生的能力形成。即使是陈述性知识，比如概念、公式、原理等，它们或是对现实对象的高度抽象和概括，或是对一般规律性的深刻揭示，是人们进行思维活动的基本语素，是进行数学活动的基本工具，相信没有人会否定这些“定型了的知识”在认识问题和分析问题中强大的生命力。

那种只有活动而没有结果的课堂，教师充当的其实是牧羊人的角色：把羊赶进预先圈定的草场，让它们自由啃食。至于啃食多少、消化多少，则不在考虑之列。这样的教学，没有发挥出教师应有的主导作用。

学生是不断发展中的人。在学习过程中，他们的数学知识在不断地丰富、认知和能力结构在不断地改进。学生由较低层次的数学现实出发，调动他们的知识、启动他们的思维、投入他们的情感，进行新一层次的数学活动；再进行更高一层的抽象、概括、解析、整合、具体化和一般化，数学活动的深度增加了、广度扩大了；最后得到了更高一级的知识，再把高一级的知识投入到数学活动之中，又带来更高强度更高水平的数学活动……

这样，数学学习进入以下的循环：过程→结果→又一个过程→又一个结果……有时候很难把结果和过程截然分开，过程里有结果，结果里有过程，或交替、或并行、或分立、或融合，在循环往复中实现数学认知的螺旋式上升。就像《九九乘法表》一样，既可以看作是已知的运算的结果，也可以看作是可用的运算程序，支撑着运算活动的全过程。

数学活动是以数学思想为指导、用数学的方法解决问题，从而感悟数学知识、形成数学能力的实践活动。重视学生的学习过程与结果，可以使得学生对所学知识不仅知其然，而且知其所以然。没有过程的“结果”和没有结果的“过程”，对数学活动而言都是残缺的，都不能形成完整的认知结构。那种把一切交给学生、有活动无总结的课堂，在莺歌燕舞之中很可能使“数学化”沦为虚无，使源自于数学自身的标准和规范荡然无存。

教学中“过程”和“结果”是数学活动的双翼，无孰重孰轻。理解过程与结果的辩证关系，即需要通过方法论的重建使得教学内容真正成为可以理解的、可以学到手和可以加以推广利用的，从而将数学课真正“教活、教懂、教深”。“所谓‘教活，是指教师应当通过自己的教学活动向学生展现‘活生生的数学探究过程，而不是死的数学知识；所谓‘教懂，是指教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；所谓‘教深，则是指教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生领会内在的思维方法。”[5]

数学教学中的过程与结果各有各的功效，新课程重视学生的过程参与，但并不说明结果不重要了，数学教学不应该走极端化。在教学中让学生参与学习过程有助于他们对结果的理解，但为展示学生的思维而只注重过程的做法是不可取的。为此，课堂教学评价目标，宜着力在以下七个方面实现：一是课堂教学目标是否明确、适当，二是教学要求是否根据实际需要做出适当的调整，三是教学内容是否切合学生的承受能力和发展需求，四是教学过程是否关注学生的全面发展，五是教学方法的选择是否能够提高教学效率和学生学习兴趣，六是学生的参与度与参与面是否足够深广，七是学生是否真正学以致用且目标达成度高。

数学不仅帮助人们更好地探求客观世界的规律，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段；数学在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用，这一过程除了逻辑和证明外，充满着探索与创造[6]。强化“为促进学习而教”的理念，在过程与结果之间寻找恰当的平衡点，让过程与结果相得益彰。这就需要正确认识师生交往、师生互动、共同发展的现代教学观，在教学过程中自觉地将外在的教育理念物化为自身的课堂教学行为，才能让过程与结果并重，实现数学活动的目标，实现学生全面素质的提升。

参考文献：

[1]郑毓信.数学教育研究者的专业成长[J].数学教育学报，2013（10）.

[2]弗赖登塔尔著，陈昌平、唐瑞芬译.作为教学任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995：3.

[3]徐本顺、殷启正.数学中的美学方法[M]，大连：大连理工大学出版社，2008.5.

[4]黎景辉.关于数学教育知识链的传递问题[J].数学教育学报，2014（2）.

[5]郑玮、郑毓信，HPM与数学教学中的再创造[J].数学教育学报，2013（3）.

[6]孔凡哲、王郢.在课堂教学中如何看待过程与结果[J].广西教育，2005，（6）.

（屠桂芳，南京市第十三中学，210008）

责任编辑：颜莹endprint