二维有限差分法地震波场数值模拟研究

许欢

摘 要：有限差分法是地震波场数值模拟中最重要的方法之一，但是有限差分法模拟地震波场 时，计算机的内存不可能模拟无限大的无边界的地质模型，这时就考虑到吸收边界问题。本 文就以二维声波波动方程为例，通过对无吸收边界条件，一阶、二阶吸收边界条件效用的对 比，阐述人工边界反射问题（虚假反射）及吸收边界条件的重要性。

关键词：有限差分法；地震波场；数值模拟；吸收边界条件；伪反射

0引言

在当今的中国乃至整个世界，经济的发展相当部分由工业决定，工业离不开石油业的发展，石油业离不开地球物理勘探仪器与算法的进步，算法中最主要的是地震资料数据处理。 为了能更好地处理地震数据，掌握地震波传播规律，我们这时就要做好最根本的工作——地 震波场数值模拟。波场数值模拟（正演）方法有有限元法、克希霍夫积分法、射线追踪法、 波动方程有限差分法及以上方法的改进和综合等方法。由于有限差分法编程简单易实现，计算速度快，占用内存少，模拟精度高，适用条件广而备受青睐。但是有限差分法模拟地震波 场时，计算机的内存不可能模拟无限大的无边界的地质模型，这时就考虑到人工边界问题。 下面就以二维声波波动方程为例，阐述人工边界反射问题（虚假反射）及其克服方法。

1二维声波方程的有限差分公式

二维标量声波波动方程（含震源）：

（1）

对（1）式进行时间、空间均 2 阶精度有限差分离散即 7 点差分格式（见图 1），采用Ricker子波作为震源，整理后 可得以下差分格式：

式（2）中， k P Pi x j zk t i j = ΔΔΔ ） Δx， ， Δy，Δ z，Δt 为别为空间、时间离散步长， h =Δx =Δy =Δz ，Src为震源函数。

2吸收边界条件条件

由于地质模型的有限性，当地震波传播到地质边界时会产生因边界内外速度的巨大反差 （边界外的速度为零），从而产生了不是由目标体界面产生的反射，这就是虚假反射（伪反射）。通过编程实现了地震声波波场快照。如果没有吸收边界条件则会有很强的因人工边界造成的虚假反射，这 给地震数据的采集、处理及解释工作带来了诸多不便。由此我们急需解决因人工边界引起的 强虚假反射。这里我们采用Clayton Engquist majda一阶吸收边界条件，其一阶形式为

其二阶形式为

式（3）和式（4）中，n 为边界的外法线方向，τ 为边界的切线方向。

从图2中可以看出：a、b 时刻波形未到达、刚到达边界，没有发生反射；c、 d 时刻波形正在通过边界，已经吸收了大部分能量，但仍有少部分能量发生了虚假反射。

从图 3 可以看出：由于使用了二阶吸收边界条件，当能量传播到边界时，很好的被吸收 了，故 c、d 看不到因人工边界而产生的虚假反射。

3结论

通过亲自动手，独立编程模拟出了各种条件下的地震波场数值模拟，为地震资料的有限 差分法波动方程逆时偏移处理打下了坚实的基础。在用有限差分法解波动方程，然后模拟地 震波场的过程中，吸收边界条件处理是不可或缺的一个环节。吸收边界处理的本质就是当地 震波传到因人工造成的波阻抗时，不会产生回射波（backward wave）即人工边界变成无反 射的、透明的或者是吸收的。

当然，吸收边界有很多种方法如多次入射法、旁轴近似法、高吸收区法、完全匹配层法 及多种方法联立边界条件等。在数值算法领域中，总存在这样一对矛盾：数值计算精度越 高，计算量就越大，计算效率就低。所以我们在处理实际问题时，根据实际问题所要求的目 标来确定计算精度，这样既提高了计算效率，又能完美地解决问题。

参考文献：

[1] 邵秀民，刘臻.带吸收边界条件的声波方程显式差分格式的稳定性分析.计算数学，2001，23（2）.

[2] 孙若昧.地震波传播有限差分模拟的人工边界问题.地球科学进展，1996，11（3）：53-58.

[3] R. P. Bording and L. R. Lines， Seismic modeling and imaging with the complete wave equation，USA： SEG， 1997.