类比思想融入《复变函数》教学的研究与实践

李红光

（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418008）

类比思想融入《复变函数》教学的研究与实践

李红光

（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418008）

从教学改革和培养应用型人才的全局出发，结合教学实践，论述了把类比思想融入到《复变函数》教学中的重要性，并且就如何实现类比思想融入到复变函数教学过程中的具体方案进行了探讨，希望能为以后的《复变函数》课程的教学改革提供一定的帮助.

类比思想；复变函数；教学改革

1 引言

《复变函数》是继数学分析之后的一门重要的分析课程，是高等院校数学专业和物理学专业的必修课程和主要课程.《复变函数》主要包括了复极限、复积分、复级数和留数理论等知识点[1-2]，其中复极限、复积分、复级数与数学分析中的极限、积分、级数[3-4]有着千丝万缕的关系。如何通过教学，帮助学生了解这种联系，让学生更好地理解复极限、复积分、复级数等概念，为其它后续专业课程的学习打好基础，又使学生在学习这门课程的过程中培养逻辑思维能力、类比能力和研究能力。而类比思想以其独有的眼界为复变函数的教学提供了新的理解，这对学生更系统地掌握复变函数的基本理论有很大的帮助，对提高复变函数的教学效果有着深远的影响。

2 类比思想融入教学中的重要性

类比思想，又称类推思想，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种相同属性的推理思想。类比复变函数与数学分析的概念，不仅要抓住概念的本质，弄清概念的真正含义，即区别其它概念的特有性质，而且要理解概念的各种条件和理清结论；不仅要比较与数学分析中概念的异同，而且要比较复变函数概念间的异同与相互联系，真正把理解和掌握基本概念作为学好复分析的首要任务，做到灵活应用相关的基本概念。

本人从事复变函数课程教学已有多年，认为类比思想是可以融入到复变函数教学的各个方面中的.实践证明这种融入对复变函数的教学有着非常好的效果.在复变函数课程教学过程中融入类比思想，有助于学生更好地掌握数学分析和复变函数的联系；有助于学生更好地了解和掌握复变函数课程的基本内容、概念和方法；有助于学生比较直观地理解一些基本定理，灵活地运用复变函数的知识解决相关问题。而类比思想可以把复变函数教学的重点转移到“背景——类比——推断——解释——启发”上，并可使学生将“知识”迅速转化为“能力”，复变函数不再是抽象难懂、深不可测、高不可攀、望而却步的“难学难用”的课程了.这可使学生的数学素质、用数学的能力得到大幅度提升.

3 类比思想融入到复变函数的整个教学过程

3.1 融入到课堂教学

复变函数中包含很多与数学分析相似的概念和定理.因此，在复变函数课堂教学过程中，如何让学生通过类比数学分析的知识来掌握这些抽象的概念和定理变得尤其重要.对于复变函数的教学，以往的方式是注重概念的数学表达和逻辑方式，这样的方式让学生觉得复变函数的概念繁多、无趣和难以理解.现在我们可以在概念和定理的讲授中融入类比的思想，从而改变以往的教学方式，可取得很好的教学效果.其实，复变函数中的众多概念与定理，如极限、导数、积分、级数都是可以从数学分析中的极限、导数、积分、级数等概念和定理类比过来，这样学生就会感到课本里的概念和定理不再是那么陌生，而是似曾相识的，也不再感到这些概念抽象、难懂了.这种融入类比思想的教学方法，有助于培养和造就学生的认知能力和创新能力.

例如，在复变函数可导性（从而判断函数解析性）的充要条件中，为什么要求函数的实部和虚部必须满足Cauchy-Riemann方程？

先引导学生通过数学分析导数的定义和复变函数导数的定义去思考问题，启发学生自己去解决问题，发现其中的本质.

又如，一元实函数的微分中值定理能推广到复变函数中来吗？

引导学生用Rolle定理和复指数的知识考虑问题，从而达到学生能用数学分析的相关知识推导复变函数的知识.

答：不能。我们仅以Rolle定理为例来说明。一元实函数的Rolle定理是说，若y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，并且f（a）=f（b），则至少存在一点ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0.该定理不能推广到复变函数的原因如下：

（1）讨论复变函数w=f（z）在点处的连续性与可导性时，要求该函数定义在z0的某个邻域（或的某个区域）上，仅在实（或虚）轴的某个区间上不能讨论连续性与可导性，即使定义在复平面内某个以z1和z2为端点的线段上也不行.

（2）若将Rolle定理的前两个条件放宽为f（z）在复平面的某区域D内解析，将第三个条件f（a）=f（b）改为f（z）在D内某线段的两个端点z1与z2上相等，即f（z1）=f（z2），结论也不一定成立.例如，设f（z）=ez，根据复指数函数ez的周期性，对任何z∈D，ez=ez+2kπi（k为整数），但由于（ez）′=ez≠0，所以在以z1与z2为端点的线段内，没有一点使（ez）′=0，故Rolle定理不成立.

3.2 融入到实验教学

伴随着计算机的飞越发展和数学软件（如Mathematica，Matlab）的迅速成长，许多与数学相关的实际问题的解决都需要通过计算机来完成.目前，数学与计算科学学院正在探索专业课程的教学改革，复变函数课程也纳入了该改革中.结合以往的实践教学改革，认为在复变函数的教学过程中增开实验课，不但可以提高学生对复变函数的兴趣，同时还可以增强他们的实际动手能力.复变函数的实验一般要结合物理应用背景，以数学软件为工具，模拟实际环境进行教学.在复变函数教学中，可开设2～3次实验课，主要是让学生利用类比的方法来解决复变函数方面的一些实际问题，从而达到提高学生的积极性，创造性和解决问题的能力.

3.3 融入到课后作业

在以往的复变函数教学过程中，给学生布置的作业基本上是出自于书中的课后习题，然而，课后习题陈旧、形式缺乏、应用性严重不足，这严重地影响了复变函数的教学效果.因此，仅仅布置课后习题作为学生的作业，不能很好地培养学生对实际问题解决的能力和动手能力.为改善这种不利的局面，在作业的布置上亦可融入类比的方法，适当增加一些开放性的课后作业，如可以安排一些与数学分析知识相关的复变函数问题，这样可以培养学生的迁移能力、创新能力；也可以增加一些利用数学软件能完成的复变函数方面的应用题，从而达到对学生的实际应用能力的培养.

3.4 融入到考试考核

以往对复变函数课程考核就是采取闭卷考试，而且考试题目或者是出自于书中的例题和课后的习题；或者是出自于书中的某些基本概念和定理.这样的结果是只能考查学生的识记能力，而无法考查学生的迁移和应用能力，从而直接导致很多学生高分低能，学生无法在复变函数学习过程中理解和提炼数学思想和方法.这样方式与复变函数教学的初衷是相违背的，也与我校所提倡的应用型人才培养模式相违背的.考虑到这样一种不足的考核方式，我们可以尝试在考核方式上做出一些调整.例如，我们可以把考核方式分为两部分：理论考试和上机考查.对于理论考试部分，可适当增加一些开放型的简答题，需要学生比较复变函数和数学分析中一些知识点的异同；对于实验上机考查部分，主要考查学生利用已有的数学分析实验基础通过类比的方法解决一些与复变函数有关的实际问题.

4 结论

随着计算机的飞速发展，传统复变函数教学不能适应高校现代化教学，教学改革势在必行.本文从教学改革和培养应用型人才的全局出发，结合自己多年教复变函数的经验，探索了如何将类比思想融入到复变函数的整个教学过程的具体方法，认为把类比思想融入到复变函数教学的关键是分析推广后出现的新情况和新问题及出现新问题的原因，剖析新概念与新理论的本质.力争将类比思想与复变函数有关内容相结合，从而能够培养学生感知事物存在特征与变化过程本质的能力、科学想象能力和科学推理能力，从而提高学生探讨研究的能力.

[1]钟玉泉.复变函数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]西安交通大学数学教研室编.复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3]陈纪修，於崇华，金路编.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]孙清华，孙昊.复变函数的内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2003.

[6]付爱玲.类比建构对复变函数教学的启示[J].北京：中国科技信息，2010（18）：119.

The Research and Practice of Infiltrating the Idea of Analogy in Complex Analysis Teaching

LI Hong-guang
（College of Mathematics and Computer Science，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008）

Starting from the overall situation of teaching reform and training applied talents，combining with years of teaching experience of the author，the importance of infiltrating the idea of analogy in complex analysis teaching is presented firstly．And then，the specific plans of infiltrating the idea of analogy in the complex analysis teaching are discussed.The author hopes that it can be of some help in the teaching reform of complex analysis.

the idea of analogy；complex analysis；teaching reform

G642

A

1671－9743（2016）11－0088－02

2016-04-11

怀化学院教改项目（怀院发[2015]16号No.201527）.

李红光，1979年生，男，湖南新宁人，讲师，研究方向：函数论.