半线性椭圆最优控制问题插值系数混合有限元解的先验误差估计

曹龙舟，鲁祖亮，2，李林

（1.重庆三峡学院非线性科学与系统重点实验室，重庆404100；2.天津财经大学数学与经济研究中心，天津300222）

半线性椭圆最优控制问题插值系数混合有限元解的先验误差估计

曹龙舟1，鲁祖亮1，2，李林1

（1.重庆三峡学院非线性科学与系统重点实验室，重庆404100；2.天津财经大学数学与经济研究中心，天津300222）

利用插值系数混合有限元方法求解半线性最优控制问题，采用插值系数的思想去处理方程中的非线性项，建立了半线性椭圆最优控制问题插值系数混合有限元的离散格式，将状态方程和对偶状态方程利用低阶的Raviart-Thomas混合有限元空间离散，控制变量利用分片常函数逼近，最后获得状态变量和控制变量的L2范数和H（div）范数的最优阶先验误差估计.

半线性椭圆；最优控制问题；插值系数混合有限元解；先验误差估计

1 引言

最优控制问题的数值模拟是科学与工程计算中一个重要的研究领域.最早是Falk[1]和Geveci[2]研究了椭圆最优控制问题的有限元方法.接下来有很多专家学者研究了最优控制问题的各种有限元离散格式.插值系数混合有限元方法是经济有效的方法，Zlamal[3]最先分析半线性抛物问题插值系数混合有限元方法.接着，Larsson，Tomee[4]研究了非线性热方程的半离散插值系数混合有限元方法.国内学者陈艳萍和熊之光[5，6]研究了半线性椭圆问题有限元的超收敛.本文，我们主要研究一般的半线性椭圆最优控制问题插值系数混合有限元方法，获得状态和控制变量的L2范数和H（div）范数的先验误差估计.

我们考虑如下半线性椭圆问题：

其状态方程为

边值条件为

这里Ω是一个矩形区域，pd和yd是目标函数，p和y是状态变量，u是控制变量，α是正常数.假设f∈L2（Ω），B是L2（Ω）→L2（Ω）上的连续线性算子.控制变量的约束集Uad定义如下：

下面我们给出系数矩阵A（x）和函数φ的假设.

2 插值系数混合有限元方法

这一节，通过插值系数算子Ih代替非线性项φ（yh），利用插值系数混合有限元方法求解半线性椭圆最优控制问题.现在我们讨论最优控制问题（1.1）-（1.4）的插值系数混合有限元离散格式.令W=L2（Ω），

其范数为：

这时最优控制问题（1.1）-（1.4）的弱形式为：寻找（p，y，u）∈V×W×U使得

众所周知，问题（2.1）-（2.3）至少有一个解（p，y，u），而且（p，y，u）∈V×W×U是问题（2.1）-（2.3）的解的充分必要条件是存在（q，z）∈V×W使得（p，y，q，z，u）满足如下的最优性条件：

这里B*是B的共轭算子.

且存在一个正常数c，使得

为了逼近控制变量，我们定义Uad为分片常函数有限元子空间：

问题（2.1）-（2.3）的混合有限元逼近形式为：寻找（ph，yh，uh）∈Vh×Wh×Uh使得

定义插值算子Ih：C（Ω）→Wh使得

并且有如下插值误差估计[4]：当0≤m≤r，1≤p≤∞时，有

这里对于所有的T∈τh有v∈C（Ω）∩Wr，p（τh）.在式子（2.11）里用Ihφ（yh）代替φ（yh），则最优控制问题（2.9）-（2.11）至少存在一个解（ph，yh，uh），并且如果（ph，yh，uh）是（2.9）-（2.11）的解，那么总存在一个对偶状态变量（qh，zh）∈Vh×Wh使得（ph，yh，qh，zh，uh）满足如下最优性条件：

令Qh∶U→Uh是一个标准L2（Ω）-正交投影，且满足对于任意的u~∈U，有

对于φ∈Wh，我们可以写成

这里

是Ω上的有界函数[10].

3 先验误差估计

这一节，我们将讨论半线性椭圆最优控制问题插值系数混合有限元逼近解的先验误差估计.首先引入中间变量，对于任意控制函数u~∈Uad，定义状态方程的离散解（ph（u~），yh（u~），qh（u~），zh（u~））使得

定义中间误差：

为了估计中间变量的误差，利用公式（2.21），结合（2.4）-（2.7）和（3.1）-（3.4），并选择u~=u得到：

这里vh∈Vh，wh∈Wh.

类似于文献[11]的证明思路，结合（3.7）-（3.10），我们可以得到如下引理.

引理3.1假设（A1）-（A2）均满足，则存在一个与h无关的正常数C使得

引入中间误差变量，我们能够将误差分解为：

利用混合有限元方法的稳定性结论，我们可以得到如下结果.

定理3.1假设（A1）-（A2）均满足，则存在一个与无关的正常数使得

证明：根据（2.14）-（2.17），（3.1）-（3.4）和（2.21），我们有如下误差方程：

令

对于插值算子Ih通过使用插值误差估计（2.13），我们有

利用（3.25）和连续的线性算子B的性质，有

从（3.23）和（3.26）-（3.27）可以得到

证明完毕.

令（p（u），y（u））和（ph（u），yh（u））分别为（2.2）-（2.3）和（3.1）-（3.2）的解，再令J（·）∶U→R2是一个G微分凸泛函的近似解u满足如下形式：

假设有如下凸泛函序列Jh∶U→R2满足

容易得到

接下来，我们来估计‖u-uh‖.假设目标函数J在解u的某个小邻域内是严格一致凸泛函，即对于解u存在一个小邻域使得J在该邻域上是凸函数，也就是说存在一个独立于h的正常数c使得

定理3.2假设（A1）-（A2）都满足，令（p，y，q，z，u）∈（V×W）2×U以及（ph，yh，qh，zh，uh）∈（Vh×Wh）2×Uh分别为（2.14）-（2.18）和（2.14）-（2.18）的解，假设（αu+B*z）∈H1（Ω），这时有

和

注意到在（3.37）中Qhu-uh=Qhu-u+u-uh，结合（3.36）-（3.37），有

由（3.38）可以得到

应用（3.32）和（3.39），有

现在我们估计（3.40）的右端项，由算子B的连续性和定义（3.1）可以得到

因为j′是局部Lipschitz连续，利用δ-Caunchy不等式和（2.20）中投影算子Qh的逼近性质，容易得到

对于任意的δ＞0成立.由（2.20），（3.11）和算子B的连续性，我们有

和

然后利用定理3.2的假设和（2.20）的逼近性质，有

利用（3.41）-（3.45）和（3.40），可以证明（3.33）.再结合引理3.1和定理3.1，我们得到（3.34）-（3.35）.

[1]F.S.Falk.Approximation ofa class ofoptimal control problems with order ofconvergence estimates[J].J.Math.Anal.Appl.，44（1973）：28-47.

[2]T.Geveci.On the approximation ofthe solution ofan optimal control problemgoverned byan elliptic equation[J].R.A.I.R.O.Numer.Anal.，1979（13）：313-328.

[3]M.Zlamal.Afinite element solution ofthe nonlinear heat equation[J].R.A.I.R.O.Numer.Anal.，1980（14）：203-216.

[4]S.Larsson，V.Tomee.Interpolation ofcoefficients and transformation ofdependent variable in Element methods for the nonlinear heat equation [J].Math.Methods Appl.Sci.，1989（11）：105-124.

[5]Z.Xiong，Y.Chen.Arectangular finite volume element for a semilinear elliptic equation[J].J.Sci.comp.，2008（36）：177-179.

[6]Z.Xiong，Y.Chen.Finite volume element method with interpolation cofficients for two-point boundaryvalue problemofsemilinear differential equation[J].Comput.MethodsAppl.Mech.Engrg.，2007（196）：3798-3804.

[7]张宏伟，刘衍琼.对流占优扩散微分方程的最小二乘特性有限元方法[J].怀化学院学报，2008，27（11）：1-4.

[8]张宏伟，何敬伟.一类对流扩散方程的耦合解法[J].怀化学院学报，2010，29（2）：1-5.

[9]P.A.Raviart，J.M.Thomas.Amixed finite element method for 2nd order elliptic problems，Math.Aspects ofthe Finite Elment method[J]. Lecture Notes in Math，2012（2）：292-315.

[10]Y.Kwon，F.A.Milner.-error estimates for mixed methods for semilinear second-order elliptic equation[J].SIAMJ.Control Numer.Anal.，1988（25）：46-53.

[11]Z.Lu，Y.Chen.-error estimates oftriangular mixed finite element methods for optimal control problemgovern bysemilinear elliptic equation [J].Numer.Anal.Appl.，2009（12）：77-86.

[12]F.Brezzi，M.Fortin.Mixed and hybrid finite element methods[J].Springer，Berlin，1991.

Interpolation Coefficients Mixed Finite Element Solutions For Semilinear Elliptic Optimal Control Problems Priori Error Estimates

CAO Long-zhou1，LU Zu-liang1，2，LI Lin1
（1.Key Laboratory for Nonlinear Science and System Structure，Chongqing Three Gorges University，Chongqing 404000；2.Research Center for Mathematics and Economics，Tianjin University of Finance and Economics，Tianjin 300222）

In this paper，the authors extend the excellent idea of interpolation coefficients for semilinear optimal control problems to the mixed finite element methods.By using the interpolation coefficients thought to process the nonlinear term of equations，we present the mixed finite element approximation with interpolation coefficients for general optimal control problems governed by semilinear elliptic equations.The state and the co-state are discretized by the lowest order Raviart-Thomas mixed finite element space and the control is discretized by piecewise constant elements.We derive a priori error estimates in L2norm and H（div）norm for the coupled state and control variables with optimal convergence order h2.

semilinear elliptic；optimal control problems；interpolation coefficients mixed finite element solutions；priori error estimates

O241.82

A

1671－9743（2016）11－0021－06

2016-06-18

国家自然科学基金（11201510，11171251）；中国博士后科学基金（2015M580197）；重庆市科委项目（cstc 2015 jcyjA20001）；教育部春晖计划（Z2015139）.

曹龙舟，1994年生，男，重庆开县人，硕士研究生，研究方向：偏微分方程数值解；鲁祖亮，1980年生，男，湖南常德人，教授，博士，硕士生导师，研究方向：偏微分方程数值解；李林，1992年生，男，重庆万州人，硕士研究生，研究方向：偏微分方程数值解.